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贵州省榕江县第三高级中学2023-2024学年高三数学第一学期期末检测试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()
A. B. C. D.
2.已知命题,那么为()
A. B.
C. D.
3.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为()
A. B. C. D.
4.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()
A. B. C. D.
5.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶,每个单位至少一人,则甲、乙两人不在同一个单位的概率为()
A. B. C. D.
6.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()
A. B. C.24 D.
7.已知集合则()
A. B. C. D.
8.是的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设双曲线(,)的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点,且椭圆的焦距为2,则双曲线的标准方程为()
A. B. C. D.
10.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()
A. B.3 C.1 D.
11.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,它的底面边长为,侧棱长为,则它的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
12.要得到函数的图象,只需将函数的图象
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知“在中,”,类比以上正弦定理,“在三棱锥中,侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为,则________.
14.已知函数函数,则不等式的解集为____.
15.正四棱柱中,,.若是侧面内的动点,且,则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
16.已知全集,集合,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中,居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图:
(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布,近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P();
(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于可获赠2次随机话费,得分低于则只有1次:
(ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下:
赠送话费(单位:元)
10
20
概率
现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.附:,若,则,.
18.(12分)已知,且.
(1)请给出的一组值,使得成立;
(2)证明不等式恒成立.
19.(12分)如图,三棱台中,侧面与侧面是全等的梯形,若,且.
(Ⅰ)若,,证明:∥平面;
(Ⅱ)若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.(12分)某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为二级过滤,使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装,再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个160元,二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元,二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表,图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1:一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
图2:二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以200个二级过滤器更换滤芯
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