微分方程稳定性理论简介.docx

第五节 微分方程稳定性理论简介

这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性

设有微分方程

dx?f(x) （1）

dt

右端不显含自变量t，代数方程

f(x)?0 （2）

的实根x?x

0

称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）

如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解x(t)都满足

limx(t)?x

（3）

t??

则称平衡点x

0

0

是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称x

0

是不稳定

的（不渐近稳定）。

判断平衡点x

0

是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不

求方程（1）的解x(t)，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。

将f(x)在x

0

做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：

dx?f(x)(x?x) （4）

dt 0

（4）称为（1）的近似线性方程。x

0

也是（4）的平衡点。关于平衡点x的

0

稳定性有如下的结论：

若f(x

0

若f(x

0

)?0，则x

0

)?0，则x

0

是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点

x对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是

0

x(t)?cef(x0)t?x （5）

0

其中C是由初始条件决定的常数。

二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性

方程的一般形式可用两个一阶方程表示为

?dx(t)

? 1 ?f(x,x)

? dt 1 2

?dx(t)

（6）

? 2 ?g(x,x)

?? dt 1 2

右端不显含t，代数方程组

?f(x,x)?0

? 1 2

（7）

?g(x,x)?0

?

1 2

的实根(x0,x0)称为方程（6）的平衡点。记为P(x0,x0)

1 2 0 1 2

如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解x

1

(t),x

2

(t)都满足

limx

1

(t)?x0 limx

2

(t)?x0

（8）

t?? 1 t???2

则称平衡点P(x0,x0)是稳定的（渐近稳定）；否则，称P是不稳定的（不渐

近稳定）。

0 1 2 0

为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程

?dx(t)

? 1 ?ax

bx

? dt

?dx(t)

11 12

（9）

? 2 ?ax?bx

?? dt

系数矩阵记作

21 22

?a b?

A??1 1?

??a b

?

?

2 2

并假定A的行列式detA?0

于是原点P(0,0)是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程

0

det(A??I)?0

的根?（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：

??2?p??q?0

?

?p??(a?b) （10）

?? q?

?

将特征根记作?,?

1 2

detA

，则

1 2

1?,? ? (?p? p2?4q) （11）

1

1 2 2

1方程（9）的解一般有形式ce?t?c

1

1 2

e?t（?

21

2

??）或(c

2 1

?ct)e?t（???

2 1 2

??）

c,c为任意实数。由定义（8），当?,?全为负数或有负的实部时P(0,0)是稳定

1 2 1 2 0

的平衡点，反之，当?,?有一个为正数或有正的实部时P(0,0)是不稳定的平衡

1 2 0

点

微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由

特征根?,?

1 2

或相应的p,q取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一

列指按照定义（8）式得下马看花关于稳定性的结论。

表

表1

由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性

?,?

1 2

p,q

平衡点类型

稳定性

??? ??

稳定结点

稳定

1

2

p?0,q?0,p2??q

??? ??

不稳定结点

不稳定

1

2

p?0,q?0,p2??q

??0??

q?0

鞍点

不稳定

1

?

??? ??

稳定退化结点

稳定

1

2

p?0,q?0,p2??q

??? ??

不稳定退化结点

不稳定

1

2

p?0,q?0,p2??q

?,? ?????