新教材2023版高中数学第4章统计4.2一元线性回归模型4.2.1回归直线方程学生用书湘教版选择性必修第二册.doc

4．2.1回归直线方程

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点一回归分析

找出与散点图中各点散布趋势相似的直线，使各点经过或充分靠近该直线，这条直线叫作________，这条直线的方程叫作____________．由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析．

如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程y＝a＋bx来近似刻画，则称它为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数．

要点二一元线性回归模型?

当自变量x取值xi(i＝1，2，…，n)时，将根据回归直线方程估计出的yi与实际观测值yi的误差，即yi－yi＝yi－(a+bxi)(i＝1，2，…，n)，称为随机误差，记作ei.把yi＝a+bxi＋ei(i＝1，2，…，n)，这一描述因变量y

批注?由于所有的样本点不共线，而只是散布在某条直线的附近，因此一元线性回归模型反映了表示成对样本数据的点散布于直线y＝a＋bx附近的线性相关关系．

要点三最小二乘法

用随机误差的平方和即作为总随机误差来刻画各估计值与实际值之间的误差．若总随机误差最小，则这条直线就是所要求的回归直线．由于平方又叫二乘方，所以这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法．

用最小二乘法求出的a，

此时，用最小二乘法得到的回归直线方程为y＝a+bx?，其中a是回归直线在y轴上的截距，b

批注?回归直线一定过样本中心(x，y

批注?当b0时，一元线性回归模型刻画了正线性相关关系；当b0，一元线性回归模型刻画了负线性相关关系．

基础自测

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)线性回归方程适用于一切样本和总体．()

(2)样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围．()

(3)回归直线方程得到的预测值是预测变量的精确值．()

2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是()

A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200

C．y＝－10x－200D．y＝10x－200

3．根据如下样本数据，得到回归直线方程为y＝a+bx，则(

x

4

5

6

7

8

9

y

5.0

3.5

0.5

1.5

－1.0

－2.0

A.a0，b0B．a0，b0

C.a0，b0D．a0，b0

4．已知x与y之间的一组数据，则y与x的回归直线方程y＝bx＋a必过点________．

x

2

5

7

10

y

1

3

5

7

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1求回归直线方程

例1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

x

6

8

10

12

y

2

3

5

6

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程：y＝bx＋a.

方法归纳

求回归直线方程的基本步骤

巩固训练1对于数据组：

x

2

3

4

5

y

1.9

4.1

6.1

7.9

(1)作散点图，你能直观上得到什么结论？

(2)求回归直线方程．

题型2回归分析

例2甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与误差平方和yi-

项目

甲

乙

丙

丁

散点图

随机误

差平方和

115

106

124

103

哪位同学的试验结果拟合A，B两变量关系的精度高？()

A.甲B．乙C．丙D．丁

方法归纳

根据线性相关的知识可知，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持随机误差的平方和越小，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好．

巩固训练2根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝－0.42x＋12，则在样本点(10，8.2)处的随机误差为()

A．8.2B．0.4C．7.8D．0.42

4．2.1回归直线方程

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

回归直线回归直线方程

[基础自测]

1．(1)×(2)√(3)×

2．解析：∵y与x负相关，∴排除B，D，又∵C项中x0时，y0不合题意，∴C错．故选A.

答案：A

3．解析：根据表中数据可知，随着x的增加y减小，故y与x是负相关，故回归直线斜率为负，故b0；再结合散点图以及直线的性质，根据x＝4，5，6，7时y均为正可知回归直线当x＝0时与y轴截距为正，故a0.故选B.

答案：B

4．解析：由数据可知：x＝2+5+7+104＝6；y＝1+3+5+74＝4，故线性回归方程必过点(6，

答案：(6，4)

题型探究·课堂解透

例1解析：(1)依题意可得散点图如图所示：

(2)i=14xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12

x＝