新教材2023版高中数学第3章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程学生用书湘教版选择性必修第一册.doc

3.4曲线与方程

最新课程标准

(1)了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系．

(2)理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．

(3)掌握求轨迹方程的方法．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点一曲线的方程与方程的曲线

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解?；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点?.

此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．

要点二坐标法

确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质．我们称这种研究几何的方法为坐标法．基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想．

批注?阐明了曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性、不杂)；

批注?阐明了符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性、不漏).

基础自测

1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若点P的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点P在方程f(x，y)＝0的曲线上．()

(2)单位圆上的点的坐标是方程x2＋y2＝1的解．()

(3)方程y＝1x与方程y＝1x(x0)是同一条曲线的方程．(

2．方程y＝9-x2表示的曲线是

A．一条直线B．圆

C．半圆D．不表示任何图形

3．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)()

A．在直线l上，但不在曲线C上

B．在直线l上，也在曲线C上

C．不在直线l上，也不在曲线C上

D．不在直线l上，但在曲线C上

4．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为()

A.x＋y＝4B．x－y＝4

C．|x＋y|＝4D．|x|＋|y|＝4

5．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1曲线与方程的概念

例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()

A．方程f(x，y)＝0的曲线是C

B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C

C．f(x，y)＝0是曲线C的方程

D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上

方法归纳

1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．

2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．

巩固训练1已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么()

A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0

B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0

D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0

题型2用直接法求曲线方程

例2已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且PM·PF＝0，延长MP到点N，使得|PM|＝|PN|，求点N的轨迹方程．

方法归纳

用直接法求轨迹方程的一般步骤

巩固训练2已知点C(4，0)，A(－4，0)，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为14，求动点P

题型3代入法求轨迹方程

例3已知三角形ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，求三角形ABC的重心的轨迹方程．

方法归纳

用代入法求轨迹方程的一般步骤

巩固训练3已知DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且DPDM＝12，当点P在圆x2＋y2＝4上运动时，求点

3．3.2抛物线的简单几何性质

新知初探·课前预习

[基础自测]

1．(1)√(2)×(3)×(4)√

2．解析：由题知，该抛物线的标准方程为x2＝8y，

则该抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)．

答案：A

3．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.

答案：D

4．解析：因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．

答案：B

5．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.

根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.

答案：6

题型探究·课堂解透

例