新教材2023版高中数学第3章圆锥曲线与方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质学生用书湘教版选择性必修第一册.doc

3．3.2抛物线的简单几何性质

最新课程标准

(1)掌握抛物线的几何性质．

(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点抛物线的简单几何性质

标准方程

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

图形

性质

焦点

(p2，

(－p2，

(0，p2

(0，－p2

准线

x＝－p

x＝p

y＝－p

y＝p

范围?

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

对称轴?

x轴

y轴

顶点?

(0，0)

离心率

e＝1

批注?椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式．

批注?抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形．

批注?顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点．

基础自测

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)抛物线x2＝2py(p0)有一条对称轴为y轴．()

(2)抛物线y＝－18x2的准线方程是x＝132.(

(3)抛物线是中心对称图形．()

(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．()

2．对抛物线y＝18x2，下列描述正确的是(

A．开口向上，焦点为(0，2)

B．开口向上，焦点为(0，132

C．开口向右，焦点为(2，0)

D．开口向右，焦点为(132，

3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()

A．x2＝16yB．x2＝8y

C．x2＝±8yD．x2＝±16y

4．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()

A．1条B．2条

C．3条D．4条

5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1由抛物线的几何性质求标准方程

例1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．

方法归纳

用待定系数法求抛物线方程的步骤

巩固训练1边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()

A．y2＝36xB．y2＝－3

C．y2＝±36xD．y2＝±3

题型2直线与抛物线的位置关系

例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：

(1)一个公共点；

(2)两个公共点；

(3)没有公共点．

方法归纳

判断直线与抛物线的位置关系通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，利用判别式解决：

Δ＞0?相交；Δ＝0?相切；Δ＜0?相离．

(2)当a＝0时，方程只有一解x＝－cb

巩固训练2过点M(3，2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有()

A．0条B．1条

C．2条D．3条

题型3抛物线的焦点弦问题

例3[2022·湖南平江一中高二期末]已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|＝8，求k的值．

方法归纳

求直线与抛物线相交弦长的2种方法

巩固训练3(1)过拋物线C：y2＝4x的焦点F作斜率为1的直线l，交抛物线C于A，B两点，则弦长|AB|＝()

A．32B．8C．9D．12

(2)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(12，0)，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝4，则弦AB的中点到y轴的距离为(

A．32B．2C．3D．

易错辨析忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况致误

例4(多选)过定点P(－1，1)且与抛物线y2＝2x只有一个交点的直线l的方程为()

A．y＝－1

B．y＝1

C．(3－1)x－2y＋3＋1＝0

D．(1＋3)x＋2y＋3－1＝0

解析：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．

(2)当直线l的斜率存在时，

①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点．

②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0)

即y＝k(x＋1)＋1(k≠0)

由y=kx+1+1，y2=2x消去x，得ky2－2y＋2