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简谐·典型例题精析

[例题1]一弹簧振子在一条直线上做简谐，第一次先后经过M、

N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是

[]

A．振子在M、N两点受回复力相同

B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同

C．振子在M、N两点加速度大小相等

D．从M点到N点，振子先做匀加速，后做匀

[思路点拨]建立弹簧振子模型如图9－1所示．由题意知，振子第一

次先后经过M、N两点时速度v相同，那么，可以在振子路径上确定

M、N两点，M、N两点应关于平衡位置O对称，且由M到N，振子是从

左侧释放开始的(若M点定在O点右侧，则振子是从右侧释放的)．建立

起这样的物理模型，这时问题就化了．

[解题过程]因位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同

必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子回复力应大小相

等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反．由此可知，A、B选项

错误．振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正

确．振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速，但

不是匀加速．振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做

，但不是匀，故D选项错误．由以上分析可知，该题的正

确答案为C．

[小结](1)认真审题，抓住语．本题的关键是抓住“第一次先

后经过M、N两点时速度v相同”．

(2)要注意简谐的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从

而确定各物理量及其变化情况．

(3)要重视将物理问题模型化，画出物理过程的草图，这有利于问题的

解决．

[例题2]一质点在平衡位置O附近做简谐，从它经过平衡位置

起开始计时，经0.13s质点第一次通过M点，再经0.1s第二次通过M点，

则质点振动周期的可能值为多大？

[思路点拨]将物理过程模型化，画出具体的图景如图9－2所示．设

质点从平衡位置O向右到M点，那么质点从O到M时间为0.13

s，再由M经最右端A返回M经历时间为0.1s；如图9－3所示．

另有一种可能就是M点在O点左方，如图9－4所示，质点由O点经最

右方A点后向过O点到达M点历时0.13s，再由M向最左端A′点

返回M历时0.1s．

根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性．

[解题过程]如图9－3所示，可以看出O→M→A历时0.18s，根据

简谐的对称性，可得到T1＝4×0.18=0.72s．

另一种可能如图9－4所示，由O→A→M历时t1=0.13s，由M→A′历

时t2=0.05s．设M→O历时t，则4(t＋t2)=t1＋2t2＋t．解得t=0.01s，

则T2=4(t＋t2)＝0.24s．

所以周期的可能值为0.72s和0.24s．

[小结](1)本题涉及知识有：简谐周期、简谐的对称性知

识．

(2)本题的关键是：分析周期的可能性，弄清物理图景．

(3)解题方法：将物理过程模型化、分段分析、讨论．

[例题3]甲、乙两弹簧振子，振动图象如图9－5所示，则可知

[]

A．两弹簧振子完全相同

B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1

C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大

D．振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2

[思路点