专题06 平面向量（解析版）.docx

专题06平面向量

知识建构

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自检自测

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1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．

(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b

三角形法则

a－b＝a＋(－b)

数乘

实数λ与向量a的积是一个向量记作λa

(1)模：|λa|＝|λ||a|；

(2)方向：

当λ0时，λa与a的方向相同；

当λ0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

设λ，μ是实数．

(1)λ(μa)＝(λμ)a

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

4.平面向量的基本定理、平面向量的坐标表示

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.

在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).

5.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

6.向量共线的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.

7.中点坐标公式

若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

8.向量的夹角

两个非零向量a与b，过O点作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是[0，π].

a与b的夹角为eq\f(π,2)时，则a与b垂直，记作a⊥b.

9.平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

10.平面向量数量积的性质及其坐标表示

(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

②模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).

③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2).

④夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).

⑤已知两非零向量a与b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．

(2)平面向量数量积的运算律

①a·b＝b·a(交换律)．

②λa·b＝λ(a·b)