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2023年高考数学模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式正确的是()
A. B.
C. D.
2.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
3.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()
A. B. C. D.
4.点是单位圆上不同的三点,线段与线段交于圆内一点M,若,则的最小值为()
A. B. C. D.
5.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
6.已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等,则项系数为()
A.10 B.32 C.40 D.80
7.已知直线:与椭圆交于、两点,与圆:交于、两点.若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围为()
A. B. C. D.
8.已知向量,是单位向量,若,则()
A. B. C. D.
9.在中,,则()
A. B. C. D.
10.设,则关于的方程所表示的曲线是()
A.长轴在轴上的椭圆 B.长轴在轴上的椭圆
C.实轴在轴上的双曲线 D.实轴在轴上的双曲线
11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为,已知,则
A. B. C. D.
12.若,,则的值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数,则曲线在处的切线斜率为________.
14.如图,、分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点,若,,则双曲线的离心率是______.
15.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.
16.设全集,集合,,则集合______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知.
(1)解不等式;
(2)若均为正数,且,求的最小值.
18.(12分)已知函数.
(1)当时,求的单调区间.
(2)设直线是曲线的切线,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率时切线的方程.
(3)已知分别在,处取得极值,求证:.
19.(12分)如图,在直角中,,通过以直线为轴顺时针旋转得到().点为斜边上一点.点为线段上一点,且.
(1)证明:平面;
(2)当直线与平面所成的角取最大值时,求二面角的正弦值.
20.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查,该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生,调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”,现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,统计情况如下表:
同意
不同意
合计
男生
a
5
女生
40
d
合计
100
(1)求a,d的值,根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;
(2)将上述调查所得的频率视为概率,现在从所有学生中,采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查,记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
21.(12分)某单位准备购买三台设备,型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中,随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台,调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数,并得到统计表如下所示.
每台设备一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8
型号A
30
30
0
频数
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