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微重点2函数的公切线问题

函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．

考点一求两函数的公切线

例1(2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝lnx＋1的公切线，则直线l的方程为__________．

答案y＝ex－1或y＝x

解析设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝lnx＋1相切于点Q(b，lnb＋1)，

则ea＝eq\f(1,b)＝eq\f(lnb－ea＋2,b－a)，

整理得(a－1)(ea－1)＝0，

解得a＝1或a＝0，

当a＝1时，l的方程为y＝ex－1；

当a＝0时，l的方程为y＝x.

规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．

跟踪演练1(2023·南平模拟)已知曲线y＝alnx和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为__________．

答案2eq\r(e)x－y－e＝0

解析设曲线g(x)＝alnx和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同，

则f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(a,x)，

由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，

即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0＝\f(a,x0)，,x\o\al(2,0)＝alnx0，))

解得a＝2e，x0＝eq\r(e)，

故切点为(eq\r(e)，e)，

切线斜率k＝f′(x0)＝2eq\r(e)，

所以切线方程为y－e＝2eq\r(e)(x－eq\r(e))，

即2eq\r(e)x－y－e＝0.

考点二与公切线有关的求值问题

例2(2023·德阳模拟)已知曲线y＝ex在点(x1，y1)处的切线与曲线y＝lnx在点(x2，y2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于()

A．－1B．－2C．1D．2

答案B

解析根据常用函数的导数可知

y＝ex?y′＝ex，

y＝lnx?y′＝eq\f(1,x)，

则两函数在点(x1，y1)和(x2，y2)处的切线分别为

y－y1＝(x－x1)，

y－y2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，

化简得y＝x＋(1－x1)，

y＝eq\f(1,x2)x＋lnx2－1，

由题意可得

化简得x1x2＋x2－x1＋1＝0?(x1＋1)(x2－1)＝－2.

规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．

跟踪演练2已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于()

A．0 B．－1

C．3 D．－1或3

答案D

解析设直线l与f(x)＝xlnx相切的切点为(m，mlnm)，

由f(x)＝xlnx得f′(x)＝1＋lnx，

可得切线的斜率为1＋lnm，

则切线方程为y－mlnm＝(1＋lnm)(x－m)，

将A(0，－1)代入切线方程可得

－1－mlnm＝(1＋lnm)(0－m)，

解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，

联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝x2＋ax，))

可得x2＋(a－1)x＋1＝0，

由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.

考点三判断公切线条数

例3(2023·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝lnx公切线的条数是()

A．0B．1C．2D．3

答案C

解析设公切线与y＝x2的切点为(x1，xeq\o\al(2,1))，

与y＝lnx的切点为(x2，lnx2)，

y＝x2的导数为y′＝2x，y＝lnx的导数为y′＝eq\f(1,x)，

则在切点(x1，xeq\o\al(2,1))处的切线方程为y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)，

则在切点(x2，lnx2)处的切线方程为

y－lnx2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，

即y＝eq\f(1,x2)x＋lnx2－1，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝\f(1,x2)，,x\o\al(2,1)＝1－lnx2，))

整