专题二　培优点5　极化恒等式、奔驰定理与等和线定理.docx

培优点5极化恒等式、奔驰定理与等和线定理

平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．

考点一向量极化恒等式

极化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.

变式：(1)a·b＝eq\f(?a＋b?2,4)－eq\f(?a－b?2,4)，

a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).

(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.

例1(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值为________．

答案eq\f(7,8)

解析设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，

则AD＝3n.

根据向量的极化恒等式，

得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，①

eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.②

联立①②，解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).

因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8).

即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).

(2)(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是________．

答案[39,55]

解析由向量极化恒等式知

eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－|eq\o(BE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－9.

又△ABC是边长为8的等边三角形，

所以当点P位于点A或点C时，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最大值8.

当点P位于AC的中点时，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最小值，

即|eq\o(PB,\s\up6(→))|min＝8sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，

所以|eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围为[4eq\r(3)，8]，

所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围为[39,55]．

规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．

跟踪演练1(1)如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))等于()

A．1B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)

答案B

解析取AO的中点M，连接PM，如图所示，易得AB＝eq\r(5)，

由向量极化恒等式知eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2

＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2