第十三章 相交线 平行线专项训练 -七年级数学下册期末专项复习（沪教版）.docx

第十三章相交线平行线专项训练

知识点一、邻补角与对顶角

1．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。

【答案与解析】

解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），

∴∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。

∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。

∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），

∴OM和ON共线。

【总结升华】要得出OM和ON成一条直线，就要说明∠MON是平角，从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本题得证。

2.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．

【答案与解析】

解：设∠1＝x，则∠2＝4x．

∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠1＝2x．

∵∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴x＝30°．

∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠COE＝150°．

又∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠COE＝75°．

∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．

【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b＝m:n，在解题时设，，这是常用的用方程思想解题的方法．

举一反三：

【变式】已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．

【答案】

解法1：∵α的补角是一个锐角，

∴α是一个钝角，即90°＜α＜180°，

∴．

由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，

可知．

∴．

解法2：由题意可知是一个钝角，即．

如果，那么，不满足；

如果，那么，不满足；

如果，那么，满足，

所以此人计算的答案正确．所以．

【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的α的度数，再验证是否正确．

3.（1）如图（1），已知直线a、b相交于点O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？

（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？

【答案与解析】

解：（1）2对对顶角，4对邻补角。

（2）将图（2）拆分为下图：

通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，

对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)

答：图中共有12对对顶角，24对邻补角

【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n条直线两两相交，最多有个交点．每个交点处有两组对顶角，故n条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。

举一反三：

【变式】（?青岛模拟）如图，直线AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是，∠1的对顶角是．

【答案】∠2和∠4；∠3.

由图形可知，∠1的对顶角是∠3，∠1的邻补角是∠2和∠4．

知识点二、垂线

4．下列语句：

①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。

②一条直线的垂线有无数条。

③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。

其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

【答案】①②

【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。

①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：

【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：

①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；

②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。

举一反三：

【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为()

A．经过