随机过程-平稳过程.pptVIP

各态历经性的应用例5.3.6设X={Xt,t≥0}为各态历经的平稳过程,x(t)为其一个样本函数，则有以下估计式在无线电、通信技术等领域的一些问题中,通常需要分析平稳过程的频域结构.平稳过程的功率谱密度为此引入平稳过程的功率谱密度定义5.4.1设X={Xt,-∞t+∞}是平稳过程,记一些预备知识能量型信号—总能量有限的信号设能量型信号x(t)在(-∞,+∞)上绝对可积，则x(t)的Fouier变换存在，或说x(t)存在频谱，即信号通常有能量型和功率型即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分.对总能量无限的信号—功率型信号x(t)，转为讨论其平均功率：相应的是否也有一个能计算平均功率的谱密度？为此构造一个截尾函数:练习：各态历经性的直观解释是平稳过程的每一个样本轨道几乎必须经历它所具有的各种状态.平稳过程的各态历经性本节内容：各态历经性定义各态历经性判断各态历经性应用定义5.3.1设X={Xt,-∞t+∞}是平稳过程,若均方极限则称Xt为平稳过程X在(-∞,+∞)上的时间平均.各态历经的定义则称XtXt+τ为平稳过程X在(-∞,+∞)上的时间相关函数.若对任意固定的∈R,均方极限注意：对参数集为t≥0的平稳过程X={Xt,t≥0}.时间平均时间相关函数(1)若以概率1有Xt=mX(t)则称平稳过程X的均值具有各态历经性.(2)若对任意的τ∈R,以概率1有XtXt+τ=RX(τ)则称平稳过程X的相关函数具有各态历经性.定义5.3.2设X={Xt,-∞t+∞}是平稳过程.若X的均值函数和相关函数均具有各态历经性，则称平稳过程X具有各态历经性.解解各态历经性的判定定理5.3.1设X={Xt,-∞t+∞}是平稳过程,则的均值函数具有各态历经性的充要条件是证明由定义X的均值具有各态历经性的充要条件是上式成立的充要条件是再由模的定义所以X的均值具有各态历经性的充要条件是若X是实平稳过程,则均值各态历经性的充要条件是注意：对t≥0的平稳过程X={Xt,t≥0},均值各态历经性的充要条件是当X还为实平稳过程,则相应结论为解所以X的均值具有各态历经性.解则X的均值具有各态历经性.定理5.3.2设平稳过程X={Xt,-∞t+∞}的协方差函数满足证明所以X的均值具有各态历经性.所以X的均值具有各态历经性.相关函数各态历经性的判定设X={Xt,-∞t+∞}是平稳过程,令所以X的相关函数各态历经性的讨论转为对过程Y={Yt,-∞t+∞}的均值各态历经性的讨论.这时还要求Y是平稳过程.定理5.3.3设X={Xt,-∞t+∞},以及对任意固定的τ,Y={Yt,-∞t+∞}均为平稳过程,则X的相关函数具有各态历经性的充要条件是证明由均值各态历经性的充要条件注意：设X={Xt,t∈R},以及对任意固定的τ,Y={Yt,t∈R},均为实平稳过程,则X的相关函数具有各态历经性的充要条件是对t≥0的平稳过程X相关函数具有各态历经性的充要条件是当X为实平稳过程,相关函数具有各态历经性的充要条件是例5.3.5设X={Xt,t∈R},为实平稳零均值的正态过程,若则X的相关函数具有各态历经性.证明称定义在概率空间二阶矩的随机变量的全体所组成的集合上的具有为二阶矩变量空间．预备知识则对任意的复数a,b有事实上有施瓦兹不等式定理5.2.1设X={Xt,t∈T}是平稳过程,则其相关函数有性质:证明特别若{Xt,t∈T}是周期平稳过程,即则其相关函数也是周期函数,且周期相同也为T0.在实际应用中，有平稳过程相关函数的可能图形在工程实际的应用中，经常将相关函数标准化为——相关系数易知相关系数满足：利用相关系数可以确定一个重要的临界值——相关时间二阶矩过程均方极限与连续相关函数还可以用于讨论平稳过程的均方微积分设X={Xt,t∈T}是二阶矩过程,t0∈T,若则称X在t0处均方连续.若对任意的t∈T,在t处均方连续,则称X在T上均方连续均方连续定理5.2.2平稳过程X={Xt,t∈T}均方连续的充要条件是X的相关函数RX(τ)在τ=0处连续.充分性由均方连续的定义X={Xt,t∈T}均方连续.必要性：若X均方连续.则有