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第八章向量代数与空间解析几何

在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题.空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的.

正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间解析几何的知识对学习多元函数微积分也是必要的.

本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容.

第一节向量及其线性运算

一、向量的概念

客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速

度、力、力矩等等，这一类量叫做向量(或矢量).

在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB(图8-1).有时也用一个黑体字母(书写时，在字母上面

加箭头)来表示向量，例如av、o、F或立、六立下等.

图8-1

在实际问题中，有些向量与其起点有关(例如质点运动的速度与该质点的位置有关，一个力与该力的作用点的位置有关),有些向量与其起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量(以后简称向量),即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方.当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理.

由于我们只讨论自由向量，所以如果两个向量a和b的大小相等，且方向相同，我们就说向量a和b是相等的，记作a=b.这就是说，经过平行移动后能完

全重合的向量是相等的.

向量的大小叫做向量的模.向量AB、a和a的模依次记作IABl、lal和fl.

第八章向量代数与空间解析几何

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模等于1的向量叫做单位向量.模等于零的向量叫做零向量，记作0或0.零向

量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的.

规定不超过π设有两个非零向量a,b,任取空间一点0,作OA=a,OB=b,

规定不超过π

的∠AOB(设φ=∠AOB,O≤φ≤π)称为向量a与b的

夹角(图8-2),记作(a,b)或(b,a),即(a,b)=φ.如

果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可

以在0到π之间任意取值.

图8-2如果或π,就称向量a与

图8-2

a//b.如果|,就称向量a与b垂直，记作a⊥b.由于零向量与另一向量

的夹角可以在0到π之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直.

当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上.因此，两向量平行，又称两向量共线.

类似还有向量共面的概念.设有k(k≥3)个向量，当把它们的起点放在同一

点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面.

二、向量的线性运算

1.向量的加减法

向量的加法运算规定如下：

设有两个向量a与b,任取一点A,作AB=a,再以B为起点，作BC=b,连接

AC(图8-3),那么向量AC=c称为向量a与b的和，记作a+b,即

C=a+b.

上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则.

力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，我们也有向量相加的平行四边形法则。这就是：当向量a

图8-3

与b不平行时，作AB=a,

Ab=b,以AB、AD为边作一平行四边形ABCD,连接对角线AC(图8-4),显然向量AC即等于向量a与b的和a+b.

向量的加法符合下列运算规律：

第一节向量及其线性运算

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(1)交换律a+b=b+a;

(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).

这是因为，按向量加法的规定(三角形法则),从图8-4可见：a+b=AB+BC=AC=c,

b+a=AD+Dc=AC=c,

所以符合交换律.又如图8-5所示，先作a+b再加上c,即得和(a+b)+c,若

以a与b+c相加，则得同一结果，所以符合结合律.

图8-4图8-5

由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量a?,a?,…,a。(n≥3)相加

可写成

a?+a?+……+a?;

并按向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如下：以