新教材2023年秋高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线的方程及性质的应用教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册.docVIP

第2课时　抛物线的方程及性质的应用 学习任务 1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(逻辑推理、数学运算) 2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(逻辑推理、数学运算) 一条斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，类似的你还能得到其他结论吗？ 知识点　与抛物线有关的焦点弦的相关结论 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2 (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为直线 (3)1AF＋1BF＝ (4)S△AOB＝p22sinα(α为直线 (5)以AB为直径的圆必与准线l相切． 你能证明1AF＋1BF＝2p 提示：(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝p2 由x=p2，　　y2 ∴y＝±p. 从而|AF|＝|BF|＝p， ∴1AF＋1BF＝ (2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx- 由y=kx-p2，y2=2px，　　得k2x2 ∴x1＋x2＝pk2+2k2＝p＋2pk2 ∴1AF＋1BF＝1 ＝x1+ ＝p+2pk2 即1AF＋1BF＝ 综合(1)(2)可得，1AF＋1BF＝ 直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝______． 65　[由1AF＋1BF＝2p，得16 解得|BF|＝65． 类型1　和抛物线有关的轨迹问题 【例1】　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M0，12的距离比点P到x (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝26，求实数k的值． [解]　(1)法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝12 ∴x2+y-122＝y＋12，化简得x2＝2y.故点 法二：(定义法)由题意知，点P到定点M0，12与直线y＝－12的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y＝－12为准线的抛物线 ∴点P的轨迹方程为x2＝2y. (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立y=kx+1，x2=2y，　消去y化简得 ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝1+ ＝1+ ＝26， ∴k4＋3k2－4＝0， 又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 　求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程． (2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程． [跟进训练] 1．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程． [解]　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1. 因为两圆外切， 所以|MC|＝R＋1. 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切， 所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p＝4 故其方程为y2＝8x. 类型2　与弦长、弦中点有关的问题 【例2】　过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度． [解]　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y12＝8x1， 两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． ∵P是AB的中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则k＝y2-y1x ∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)， 即4x－y－15＝0. 由4x-y-15=0，y2=8x　　　　　消x 则y1＋y2＝2，y1y2＝－30. 由弦长公式得|AB|＝1+1k2|y1－y2|＝1+ 法二：由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)， 由y=kx-4+1，y2=8x　　　　　消x整理得 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝8k ∵P是AB的中点， ∴y1+y22＝1，∴8k＝ ∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0. 由4x-y-15=0，y2=8x　　　　消x 则y1＋y2＝2，y1y2＝－30， 由弦长公式得|AB|＝1+1k2|y1－ ＝1+ ＝5272 　涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系运用“设而不求”“整体代入”等解法． 注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． [跟进训练]