新教材2023年秋高中数学第2章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册.docVIP

2.3.3　点到直线的距离公式　 2.3.4　两条平行直线间的距离 学习任务 1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象) 2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算) 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. (1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ (2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？ 知识点1　点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝Ax 在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式． 知识点2　两条平行直线间的距离 (1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝C1 两直线方程中x，y的系数对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式． 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________． 5　[d＝-512+ 2．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为2，则m的值为________． －4　[∵m+1+12＝ ∴m＝0或－4. ∵点P(m，1)在第二象限内， ∴m＝－4．] 3．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为________． 913　[由两条平行直线的距离公式得 d＝-1--10 4．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为2，则a＝________． 1或－3　[由a+112+12＝2得 解得a＝1或－3．] 类型1　点到直线的距离 【例1】　(源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； (2)y＝2x＋3； (3)2x＋5＝0. [解]　(1)根据点到直线的距离公式，得d＝3×-2 即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为35 (2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0. 根据点到直线的距离公式，得d＝2×-2-1+3 即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为25 (3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－52，这条直线垂直于x轴 所以d＝-2-- 即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为12 　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． [跟进训练] 1．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为(　　) A．4 　　　B．23　　　C．42 　　　D．32 (2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是3105的直线l的方程为 (1)D　(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0　[(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离d＝m2+2m+72＝m+1 ∴d有最小值32，故选D． (2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知， d＝3×-1-0+ 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0．] 类型2　两条平行线间的距离 【例2】　(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________． (2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程． (1)104　[由题意，得63＝m1，∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0 得-1+662+22 (2)[解]　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0， 由两平行线间的距离公式得m-13 解得m＝16或m＝－14. 故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0. [母题探究] 把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”． [解]　由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0， 可设l的方程为3x－4y＋c＝0， 又点P到l的距离为3， 所以3×2 解得c＝21或c＝－9， 故所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0. 　求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特