新教材2023年秋高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册.docVIP

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 学习任务 1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象) 2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象) 已知双曲线C的方程为x2－y24＝1， (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称； (3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； (4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点． 知识点1　双曲线的几何性质 标准方程 x2a2－y2b2＝ y2a2－x2b2＝ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝±ba y＝±_ab 离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？ 提示：以双曲线x2a2－y2b2＝1(a e＝ca＝a2+b2a＝1+b2a2，故当ba的值越大，渐近线y＝bax的斜率越大，双曲线的开口越大 知识点2　等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为2． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b (2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． (　　) (3)离心率是2的双曲线为等轴双曲线． (　　) 提示：(1)√　双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b (2)×　等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x. (3)√　等轴双曲线的离心率是2. 2．双曲线x2－4y2＝1的焦点坐标是______，______；中心坐标为______；顶点坐标为______，________；实轴长为________，虚轴长为________． -52，0　52，0　(0，0)　(－1，0)　(1，0)　2　1　[将x2－4y2＝1化为标准方程 由此可得实半轴长a＝1，虚半轴长b＝12，半焦距c＝5 所以双曲线的焦点坐标是-52，0，52，0，中心坐标为(0，0)，顶点坐标为(－1，0)，(1，0)， 3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)经过点(3， 45　[由题意可得3 解得a 因此，该双曲线的虚轴长2b＝45．] 类型1　根据双曲线方程研究其几何 性质 【例1】　(源自湘教版教材)求双曲线x29－y2 [解]　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4. c＝a2+b2＝9+16＝5，焦点坐标为(－5，0)， 从而，渐近线方程为y＝±bax＝±43x，离心率e＝ca 为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线y＝±43x，顶点(±3，0)．算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x＝5，算出y＝163≈5.33，可见点(5，±5.33)在双曲线上．将y轴右边已知的三点(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支．由对称性可画出位于y轴左边的另一支， 　由双曲线方程研究几何性质的注意点 (1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键． (2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． (3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长． (4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用． 如过双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则 [跟进训练] 1．(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为43 A．y＝±43x　　 B．y＝±3 C．y＝±73x D．y＝±3 (2)求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． (1)C　[由e2＝1＋b2a2得169＝ ∴b2a2＝79，即 又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程为y＝±73x，故选C． (2)[解]　把双曲线方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为x2m－y2n＝1(m>0 由此可知，实半轴长a＝m， 虚半轴长b＝n，c＝m+ 焦点坐标为(m+n，0)，(－m+ 离心率e＝ca＝m+n 顶点坐标为(－m，0)，(m，0)， 渐近线方程为y＝±nmx 即y＝±mnmx 类型2　由双曲线的几何性质求其标准 方