新教材2023年秋高中数学第2章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册.docVIP

2.2.3　直线的一般式方程 学习 任务 1．探索并掌握直线的一般式方程．(数学抽象) 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(数学抽象) 3．会进行直线方程的五种形式之间的互化．(逻辑推理) 前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用．那么是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？ 知识点　直线的一般式方程 (1)定义 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义 ①当B≠0时，则－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y轴上的截距 ②当B＝0，A≠0时，则－CA＝a(x轴上的截距) 解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． 直线与二元一次方程有何关系？ 提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0来表示． (　　) (2)垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0(A≠0)． (　　) (3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB． (　　 (4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 类型1　直线的一般式方程 【例1】　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A(8，－2) (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是32，－3 (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． [解]　(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)的直线的点斜式方程是y＋2＝－12(x－ 化为一般式得x＋2y－4＝0. (2)经过点B(4，2)，平行于x轴的直线方程是y＝2， 化为一般式得y－2＝0. (3)在x轴和y轴上的截距分别为32，－3的直线的截距式方程是x32＋y 化为一般式得2x－y－3＝0. (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线的两点式方程是y+2-4+2 化为一般式得x＋y－1＝0. 　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． [跟进训练] 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A(5，3)； (2)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于y轴． [解]　(1)斜率是3，且经过点A(5，3)的直线的点斜式方程是y－3＝3(x－5)， 化为一般式得3x－y＋3－53＝0. (2)经过点A(－1，5)，B(2，－1)的直线的两点式方程是y-5- 化为一般式得2x＋y－3＝0. (3)在x轴，y轴上的截距分别是－3，－1的直线的截距式方程是x-3＋y- 化为一般式得x＋3y＋3＝0. (4)经过点B(4，2)，平行于y轴的直线方程为x＝4， 化为一般式得x－4＝0. 类型2　利用一般式研究直线的平行与垂直 【例2】　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [解]　(1)法一：①若m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1：x＋2＝0与直线l2：x－3y＋2＝0显然不平行． ②若m＋1≠0，即m≠－1时，直线l1，l2的斜率分别为k1＝－2m+1，k2＝－m3，若l1∥l2时，k1＝k2，即－2m+1＝－m3，解得m＝2或m＝－3，经验证，m＝2或m＝－3符合条件，所以 法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，所以l1∥l2. 同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，所以l1∥l2，所以m的值为2或－3. (2)法一：由题意，直线l1⊥l2， ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－32时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直 ③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－a+21-a，k 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即-a+21 所以a＝－1.综上可