高二数学学案：几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则含解析.docVIP

学必求其心得，业必贵于专精 学必求其心得，业必贵于专精 学必求其心得，业必贵于专精 1。2.1　几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ［目标］ 1.会根据导数的定义求函数y＝c,y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝eq \f(1，x),y＝eq \r（x)的导数.2。能够记住基本初等函数的导数公式和导数运算法则.3。会运用基本初等函数的导数公式及运算法则，求简单函数的导数． [重点] 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则． ［难点] 函数的求导法则及其应用． 知识点一 基本初等函数的导数公式 [填一填] [答一答］ 1．函数y＝ex的导数与函数y＝ax的导数有何关系？ 提示：(ex）′＝ex是(ax）′＝axlna，当a＝e时的特殊情况． 2．若f′(x)＝ex，则f（x)＝ex这种说法正确吗？ 提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C（其中C为任意实数)，都有f′（x)＝ex。 3．当α∈R时，公式2成立吗？ 提示：成立．由于（x－1）′＝（eq \f（1,x）)′＝－eq \f(1，x2),我们可以认为α∈R时，公式2也是成立的，但不要求证明． 4．以下两个求导结果正确吗？为什么？ ①(3x）′＝x·3x－1； ②(x4）′＝x4ln4。 提示：这两个求导结果皆错．①中函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x）′＝3xln3;②中函数y＝x4是幂函数,其导数为(x4)′＝4x3。 知识点二 导数的运算法则 [填一填］ 1．[f(x）±g（x）]′＝f′（x)±g′(x)． 2．［f（x)·g(x）]′＝f′(x）g(x）＋f(x）g′（x)． 3.eq \b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(f?x?，g?x?））)′＝eq \f（f′?x?g?x?－f?x?g′?x?，［g?x?]2）(g（x)≠0)． ［答一答］ 5．如果f(x）的导数为f′(x),c为常数，那么如何求函数f(x)＋c与cf（x）的导数？ 提示：由于常函数的导数为0，即（c）′＝0，由导数的运算法则1、2,得[f(x)＋c]′＝f′(x),[cf（x）]′＝cf′(x）． 6．两个函数的和(差）的导数运算法则能否推广到多个函数的和（差)的导数情形? 提示:能推广．容易证明：［f1(x)＋f2（x）＋…＋fn（x)]′＝f′1(x）＋f′2(x)＋…＋f′n（x)． 7．[f（x)·g(x）］′＝f′(x）·g′(x)和[eq \f（f?x?,g?x?）]′＝eq \f（f′?x?,g′?x?)是否成立？ 提示：根据导数运算法则可知,这两个式子一般情况下是不成立的． 分类记忆基本初等函数的导数公式 第一类为幂函数,即y′＝(xα）′＝αxα－1(α≠0)（注意幂指数α可推广到不为零的全体实数)．对解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数; 第二类为三角函数，可记正弦函数的导数为余弦函数,余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号； 第三类为指数函数，即y′＝（ax)′＝axlna(a〉0且a≠1）,当a＝e时，(ex)′＝ex； 第四类为对数函数，即y′＝(logax）′＝eq \f（1，xlna)(a〉0且a≠1,x>0）,也可记为:（logax)′＝eq \f(1,x)logae,当a＝e时，(lnx）′＝eq \f（1，x）. 类型一 利用导数公式求导 【例1】　（1）y＝10x； （2）y＝； （3)y＝eq \r（4，x3）； （4）y＝eq \b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f（x,2）＋cos\f（x,2)））2－1。 【解】　（1）y′＝(10x）′＝10xln10. (2)y′＝（)′＝eq \f（1，xln\f（1，2）)＝－eq \f（1,xln2). (4)∵y＝eq \b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f（x，2)）)2－1 ＝sin2eq \f(x，2）＋2sineq \f(x，2)coseq \f(x,2)＋cos2eq \f(x,2）－1＝sinx, ∴y′＝(sinx）′＝cosx。 求函数的导数，一般不再用定义,而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则。在实施化简时,首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误。 给出下列命题： ①y＝ln2,则y′＝eq \f(1,2）；②y＝eq \f（1,x2），则y′|x＝3＝－eq \f（2，27); ③y＝2x，则y′＝2x·ln2；④y＝log2x，则y′＝eq \f(1，xln2）。 其中正确命题的数目为(　C　）