高二数学学案：第课时不等式的性质含解析.docVIP

学必求其心得，业必贵于专精 学必求其心得，业必贵于专精 学必求其心得，业必贵于专精 第2课时　不等式的性质 [目标］ 1.掌握不等式的有关性质；2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式、求代数式的取值范围． [重点] 不等式的性质及应用． [难点] 对不等式性质的理解． 知识点　　　　　　不等式的性质 ［填一填］ ［答一答］ 1．若a〉b，cd，那么a＋c〉b＋d，是否有a〉b，cd则a－c〉b－d成立？ 提示：不一定，如3〉1,－1－10，则3－(－1）〉1－（－10)不成立． 2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？ 提示：不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除,在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘． 3．对不等式变形时,要注意什么？ 提示：对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的． 4．由a≥b，b≥c能否得到a≥c呢?如果a≥b，bc，能否一定得到a≥c呢？ 提示：由a≥b，b≥c可以得到a≥c；而如果a≥b，bc,我们一定可以得到a〉c.又“a≥c”包含“ac”或“a＝c”，所以a≥c是一定成立的．故如果a≥b，b〉c，一定可以得到a≥c。 类型一　　　　　　不等式性质的应用 命题视角1：判断命题的真假 [例1］　判断下列命题是否成立，若不成立,适当增加条件使之成立． （1)若a〉b，则ac≤bc； (2)若ac2bc2，则a2b2； (3）若a〉b，则lg(a＋1）lg（b＋1)； (4）若ab，cd,则eq \f（a,d)eq \f（b,c). [分析]　本题考查不等式的性质的应用，可结合不等式的性质找出所缺少的条件． [解］　(1)不成立．命题“若ab且c≤0，则ac≤bc”成立，即增加条件“c≤0． (2)不成立．由ac2〉bc2可得ab，但只有b≥0时，才有a2〉b2，即增加条件“b≥0”． （3）不成立．由ab可得a＋1b＋1,但作为真数，应有b＋1〉0，故应增加条件“b－1”． (4）不成立。eq \f（a,d)eq \f(b,c)成立的条件有多种（如a〉b〉0,c〉d〉0)，因此，可增加条件“b0,d〉0”． 1。判定一个命题是假命题，有下面两种方法:?1?从已知条件入手,推出与结论相反的结论；?2?举出反例，反例法简捷、快速、有效，是解决该类问题行之有效的好方法。,2。应用不等式基本性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”,其中“乘负反序“同时取倒反序”两种情况极易忽视，应特别注意。 ［变式训练1]　已知a，b，c∈R,且c≠0，则下列命题正确的是（　D　） A．如果a〉b，那么eq \f(a,c）〉eq \f(b，c) B．如果ac〈bc,那么a〈b C．如果ab,那么eq \f（1,a)eq \f（1,b） D．如果ab，那么eq \f（a,c2）〉eq \f（b，c2） 解析:利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1,c＝－1,满足选项A，B，C中的条件．对A有：eq \f（a,c）〈eq \f(b,c)，故A错．对B有a〉b，故B错．对C有eq \f（1,a)eq \f（1，b），故C错．对于D，∵c≠0，∴eq \f(1,c2)0,由不等式的性质4知，D正确． 命题视角2：证明不等式 [例2］　（1)已知ab〉0,求证:eq \f（1,a2)eq \f（1，b2). (2)若bc－ad≥0，bd0，求证:eq \f(a＋b，b）≤eq \f(c＋d,d)。 [证明]　(1)ab〉0?a2〉b20?eq \f(1，a2)〈eq \f（1，b2). （2)bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd, 即b(c＋d)≥d（a＋b),又bd0，两边同除以bd得，eq \f(a＋b，b）≤eq \f(c＋d,d)。 　 利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件;二要注意向特征不等式的形式化归. [变式训练2］　若ab0,cd〈0，e0，求证:eq \f(e,?a－c?2）〉eq \f(e，?b－d?2)。 证明:∵c〈d0,∴－c〉－d〉0， ∴a－c〉b－d〉0. ∴（a－c)2（b－d)20。 ∴0〈eq \f（1，?a－c?2)eq \f(1，?b－d?2）。 又∵e〈0，∴eq \f(e，?a－c?2）eq \f（e,?b－d?2）. 命题视角3：求取值范围 [例3］　已知－6a〈8，2b3,分别求2a＋b,a－b，eq \f（a,b)的取值范围． [分析]　解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解． ［解］　∵－6a〈8,2b〈3， ∴－122a〈16.∴－102a＋ 又∵－3〈－b〈－2，∴－9a－b6. 又eq \f(1，3)eq \f（1，b)e