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一种利用rodrigu-rodrigu-uas参数序刻画刚体姿态运动的方法 0 元数描述姿态所面临的问题 目前，广泛用于确定飞机的姿态描述参数是四元数，主要优点如下：1）与具有奇怪的三个参数的态势描述方法相比，四元数是全局的非奇偶性。2）四元数指示的姿态运动学方程为双线性。然而,四元数并不是姿态描述的最小实现,存在一个约束条件,这种冗余特性决定了其在姿态确定中必然会遇到一些问题:1) 四元数必须进行规范化;2) 四元数的状态误差协方差矩阵是奇异的。于是我们面临两种选择:如果采用四元数描述姿态,就必须解决它在姿态确定中遇到的上述问题。在这方面有些学者提出了一些近似方法。如果采用三参数方法描述姿态,就必须解决其奇异性问题。本文针对具有简洁、高效特点的Rodrigues参数这种三参数姿态描述方法存在奇异性的缺陷,提出了一种利用Rodrigues参数序对描述姿态的方法。 1 参数方法2 1.1 rodring参数的分解 飞行器的姿态可以由本体坐标系相对于参考坐标系的空间方位完全描述。由刚体定点转动的Euler定理知:从参考坐标系到本体坐标系,可以通过绕某个轴旋转一个特定的角度θ来实现。设n为旋转轴上的单位矢量,则Rodrigues参数定义为 Φ=tanθ2n(1) 设Φ的模为?,当θ→180°时,?→∞,此时无法进行姿态解算,这就是所谓的奇异性问题,也是限制它广泛应用的一个关键问题。若将Euler定理中的一次旋转分解为两次旋转,即先将参考坐标系绕n1旋转θ1到一个过渡坐标系,然后再将过渡坐标系绕n2旋转θ2到本体坐标系,其中n1为参考坐标系中的单位矢量,n2为过渡坐标系中的单位矢量,记 Φ1=tanθ12n1(2a)Φ2=tanθ22n2(2b) 则刚体的姿态完全由Φ1和Φ2确定,且Φ1和Φ2不唯一。由Rodrigues参数的合成法则知 Φ=Φ1*Φ2=Φ1+Φ2+Φ1×Φ21-Φ1Φ2(3) 其中“*”表示Rodrigues参数的乘法。将Euler定理中的一次旋转按不同的方法分解为两次旋转,就会得到不同的姿态描述方法,这给我们讨论问题带来了极大的灵活性。可以证明存在一种分解方法使得Φ1和Φ2的模均不大于1,即刚体的任一姿态可以用两个模不大于1的Rodrigues参数来描述,这样就解决了Rodrigues参数的奇异性问题。然而Φ1和Φ2共有6个变量,大于刚体的转动自由度3,为此我们采用“冻结”Φ1的方法,使得只有Φ2随刚体的运动而变化,从而使变量个数等于刚体转动自由度。我们称这种姿态描述方法为双Rodrigues参数方法,将Φ1和Φ2组成一个序对a=(Φ1,Φ2),称为Rodrigues序对。 1.2 正常等价序对a 对于任意两个Rodrigues序对b=(Φb1,Φb2)和c=(Φc1,Φc2),若Φb1*Φb2=Φc1*Φc2,由(3)式知b和c表示同一个姿态,因此我们称b和c等价。若c和b等价,且Φc1和Φc2的模均不大于1,则称c为b的正常等价序对。 定理1 任一Rodrigues序对必然存在正常等价序对。 证明:对任一Rodrigues序对a=(Φ1,Φ2),令 Φ′1={ρ/m若ρ≤|m|sign(m)ρ/ρ若ρ>|m|(4a)Φ′2={0若ρ≤|m|sign(m)ρ-|m|ρ+|m|ρρ若ρ>|m|(4b) 其中 ρ=Φ1+Φ2+Φ1×Φ2(4c)ρ=|ρ|(4d)m=1-Φ1?Φ2(4e) 则Φ′1*Φ′2=Φ1*Φ2,且Φ′1和Φ′2的模?′1和?′2均不大于1,所以Rodrigues序对 a′=(Φ′1,Φ′2)(4f) 是a的正常等价序对。 定理2 设a″=(Φ″1,Φ″2)是a=(Φ1,Φ2)任一正常等价序对,则Φ″2的模?″2≥?′2。 证明:当ρ≤|m|时,由(4)式知?′2=0,又?″2≥0,所以?″2≥?′2。 下面着重讨论ρ>|m|的情况。由 Φ″1*Φ″2=Φ′1*Φ′2=Φ1*Φ2(5) 以及 Φ1*Φ2=ρm(6) 得 Φ″1*Φ″2=ρm(7) 将(7)式两边同时左乘Φ″1的逆元-Φ″1得 Φ″2=(-Φ″1)*ρm=-Φ″1+ρm-Φ1×ρm1+Φ1?ρm 于是 (?″2)2=Φ″2?Φ″2=(ρ-|m|?″1)2+(?″1ρ+|m|)2(Φ″1?ρ+m)2-1≥(ρ-|m|?″1)2+(?″1ρ+|m|)2(?″1ρ+|m|)2-1=(ρ-|m|?″1)2(?″1ρ+|m|)2 考虑到?″1≤1和ρ>|m|的条件下, (ρ-|m|?″1)2(?″1ρ+|m|)2 是?″1的减函数,所以当?″1=1时达到最小值,即 (ρ-|m|?″1)2(?″1ρ+|m|)2≥(ρ-|m|)2(ρ+|m|)2 所以 (?″2)2≥(ρ-|m|)2(ρ+|m|)2 又 ?′2=ρ-|m|ρ+|m| 所以?″