湘教版高中数学必修第一册2-3-1-1一元二次不等式及其解法(1)教学课件.ppt

第1课时　一元二次不等式及其解法(1) 最新课程标准 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 学科核心素养 1.会求一元二次不等式的解集．(逻辑推理、直观想象) 2．会求分式不等式的解集．(逻辑推理、数学运算) 3．能解决一元二次不等式的实际问题．(逻辑推理、数学建模) 4．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理) 教材要点 要点一　一元二次不等式的概念 一元二次不等式的概念及形式 (1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 一个 2 状元随笔　一元二次不等式的二次项系数 a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.(　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) × √ √ × 答案：A 3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________． R 解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0无解．即函数y＝x2＋6x＋10的图象在x轴上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R. 题型1　不含参数的一元二次不等式的解法 例1　解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；(2)4x2－4x＋1≤0. 方法归纳 解不含参数的一元二次不等式的步骤 1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． 2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． 3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． 4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图． 5．根据图象写出不等式的解集． 记忆口诀： 设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间． B A 题型2　三个“二次”之间的关系 例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 方法归纳 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2)若一元二次不等式的解集为R或?，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围． 题型3　解含参数的一元二次不等式 角度1　对判别式“Δ”进行讨论 例3　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0. ? 角度2　对根的大小进行讨论 例4　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)． 解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0. (1)当－1－a＜－1＋a， 即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a； (2)当－1－a＝－1＋a， 即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0， ∴x＝－1； (3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a. 综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}． 角度3　对二次项系数进行讨论 例5　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0. 方法归纳 解含参数的一元二次不等式的步骤 跟踪训练3　解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R. ? ? 解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R， 当a>1或a