湘教版高中数学必修第一册2-2从函数观点看一元二次方程教学课件.ppt

2．2　从函数观点看一元二次方程 最新课程标准 1. 理解函数零点的概念． 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点． 学科核心素养 通过二次函数图象会求二次函数的零点及一元二次方程根的相关问题．(数学抽象、数学运算) 教材要点 要点一　二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时________的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点． 实数x 横坐标 状元随笔　函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时实数x的值，也是函数相应的方程相异的实数根． 要点二　当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2) 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点 ________________ 有一个零点 ________________ 无零点 基础自测 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)a>0时二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．(　　) (2)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点，则此二次函数没有零点．(　　) × √ 2．函数y＝x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上(　　) A．没有零点 B．有无数个零点 C．有两个零点 D．有一个零点 答案：D 解析：当x2＋4x＋4＝0时，即(x＋2)2＝0，x＝－2. ∵－2∈[－4，－1]， ∴－2是函数y＝x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上的一个零点． 3．函数y＝x2＋6x＋8的零点是(　　) A．2，4 B．－2，－4 C．1，2 D．不存在 答案：B 解析：令y＝x2＋6x＋8＝0?(x＋2)(x＋4)＝0，解得x＝－2或－4，所以函数y＝x2＋6x＋8的零点是－2，－4. 4．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________． 2 解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2. 题型1　求函数的零点 例1　求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1. 方法归纳 (1)求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点． (2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． (3)求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤： ①若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； ②若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点． ③若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等． 跟踪训练1　求下列函数的零点． (1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝－2x2＋4. 题型2　求二次函数的表达式 例2　已知关于x的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件： ①对称轴为x＝1；②y的最大值为15；③ax2＋bx＋c＝0的两根立方和为17.求函数表达式． 方法归纳 二次函数解析式的求法，注意两根式的设法，常见还有一般式，顶点式，要熟练掌握二次函数的相关性质． 题型3　二次函数零点与方程的根的转化 例3　已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)的图象与x轴有两个不同的交点． (1)求m的取值范围； (2)若二次函数的图象与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3，0)，求出点A的坐标、二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 解析：(1)∵二次函数y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)的图象与x轴有两个不同的交点， ∴方程x2－2(m－1)x＋(m2－7)＝0有两个不相等的实数根． ∴Δ＝4(m－1)2－4(m2－7)＝－8m＋32>0， ∴m<4. (2)∵二次函数y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)经过点B(3，0)， ∴9－6(m－1)＋m2－7＝0，m2－6m＋8＝0， 解得m＝2或m＝4.由(1)知m<4，∴m＝2. ∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3. 令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3， ∴点A的坐标为(－1，0)． 又y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x