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模糊控制的数学基础 2.1 概述模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。“模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。 “精确”：“老师”、“学生”、“工人” “模糊”：“高个子”、“热天气”、“年轻人”模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。 2.2 普通集合* 集合 具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如： “湖南大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A，B，……，Z来表示。* 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，……，z来表示。* 论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域，也叫全集合。* 空集 不包含任何元素的集合，称为空集，记做Φ。* 子集 集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。1）集合的概念 若元素 a 是集合 A 的元素，则称元素 a 属于集合 A ，记为a∈A；反之，称a不属于集合A，记做 。* 属于*包含 若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于集合B，记为 ；或者集合B包含集合A，记为 。 对于两个集合A和B，如果 和 同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同的元素，互为子集。*相等*有限集 如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则，叫做无限集。 2）集合的表示法 将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为 A={10，12，14，16，18，20}* 表征法 表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。 上例中的集合A也可用表征法表示为A={a|a为偶数，10≤a ≤20}2.2 普通集合* 列举法 * 集合交设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的集合P称为X，Y的交集，记作P=X∩Y * 集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X，Y的并集，记作Q=X∪Y * 集合补在论域Y上有集合X，则X的补集为3）集合的运算 2.2 普通集合 具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。 * 集合的直积 设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为4） 集合的特征函数设x为论域X中的元素， A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值为0。即2.2 普通集合 (1)模糊集合的定义： 2.3 模糊集合 例2.3.1 论域为15到35岁之间的人，模糊集 表示“年轻人”，则模糊集的隶属函数可定义为则年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度为：给定论域E中的一个模糊集 ，是指任意元素x∈E，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数 ∈[0，1]来表示。 (2) 模糊集合的表示法：1） Zadeh表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：注意：式中的“＋”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。 例2.3.2 假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为 高个子 2.3 模糊集合 2）序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为： 或简化为： 对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为 高个子或 高个子2.3 模糊集合 3）隶属函数描述法 论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。 假设年龄的论域为U=[15，35]，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为： 该隶属函数的形状如图 2.3 模糊集合 （3) 模糊集合的运算 模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。 假设和为论域U上的两个模糊集，它们的隶属函数分别为和 模糊集交 模糊集并 模糊集补 相等若，总有成立，则称和相等，记作。 包含若，总有成立，则称包含，记作。 2.3 模糊集合 例