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人教2019A版 选择性必修 第三册 第七章 随机变量及其分布 7.4.1 二项分布 1 问题导学问题1：伯努利试验 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials). 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）(2) 各次试验的结果相互独立. 做一做:下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.做一做随机试验是否为n重伯努利试验伯努利试验P(A)重复试验的次数1是抛掷一枚质地均匀的硬币0.5102是某飞碟运动员进行射击0.833是从一批产品中随机抽取一件0.9520 探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同?问题探究 伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.4 问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：问题导学5 ???6 探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.?7 ?X01…k…np……概念解析8 概念解析9 ?概念辨析10 例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.?分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布。典例解析11 例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。典例解析12 ?X的概率分布图如下图所示：13 归纳总结14 例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利??分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。典例解析15 ?16 探究3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？?一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).问题探究17 证明：∵P(X=k)= Cnkpkqn-k(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)∴kP(X=k)= kCnkpkqn-k= npCn-1k-1pk-1qn-k∴E (X) =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + 　Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np一般地，如果X~B（n,p