微积分2 3无穷小与无穷大.pdf

第三节 无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 一、无穷小 1. 定义: 如果函数 f (x ) 当x → x0 (或 x → ) 时的极限为零，那么称 f (x ) 为当x → x0 (或 x → ) 时的无穷小 . 例如, lim sin x 0, 函数sin x 是当x → 0时的无穷小. x →0 1 1 lim 0, 函数 是当x → 时的无穷小. x → x x lim (−1)n 0, 数列{(−1)n }是当n → 时的无穷小. n→ n n 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2 零是可以作为无穷小的唯一的数. 3 称一个函数是无穷小量时，一定要明确 指出自变量的变化趋势. 2. 无穷小与函数极限的关系: 定理1 lim f (x ) A  f (x ) A +(x), x →x0 其中(x ) 是当x → x0 时的无穷小量. 证 必要性 设 lim f (x ) A ,令 (x ) f (x ) − A, x →x0 则有 lim (x ) 0, f (x ) A + (x). x →x0 充分性 设 f (x ) A + (x), 其中(x)是当x → x 时的无穷小, 0 则 lim f (x ) lim (A + (x)) A + lim (x ) A . x →x0 x →x0 x →x0 注：其它变化趋势 (x → , n → ) 有相同的结论。 n + 1 n + 1 1 1 例如, lim 1, 1 + , 为一个无穷小 . n→ n n n n 3. 无穷小的运算性质: 定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 的代数和仍是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 例如, n → 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小 . n 定理3 无穷小与有界量的乘积是无穷小. 推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量 与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 1 1 例如, 当x → 0时, x sin , x 2 arctan 都是无穷小 x