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沪教版6年级数学1.5：公倍数与最小公倍数(讲义) 第5讲：公倍数和最小公倍数 一、公倍数与最小公倍数 上节课我们研究了有关公因数和最大公因数的知识，本节课我们将研究公倍数和最小公倍数的概念。公倍数是指几个整数共有的倍数，而最小公倍数是这几个数中最小的共有倍数。 例如，对于3和4这两个数，它们的倍数分别为3、6、9、12和4、8、12、16，它们相同的倍数为12，因此3和4的最小公倍数为12. 二、求最小公倍数的方法 方法一：列出两个数的倍数表，找到它们的公共倍数，然后找到其中最小的一个，即为最小公倍数。 例如，对于18和30这两个数，它们的倍数分别为18、36、54、72和30、60、90，它们的公共倍数为90，因此18和30的最小公倍数为90. 方法二：将两个数分别分解质因数，找到它们所有的公共质因数和各自剩余的质因数，然后将它们相乘，即可得到最小公倍数。 例如，对于18和30这两个数，它们分别可以分解为2×3×3和2×3×5，它们的公共质因数为2、3，各自剩余的质因数为3和5，因此它们的最小公倍数为2×3×3×5=90. 方法三：使用短除法，将两个数分别除以它们的公共质因数，直到无法再除尽为止，然后将所得的商和剩余的质因数相乘，即可得到最小公倍数。 练： 1.求36和84的最小公倍数。 2.求30和45的最大公因数和最小公倍数。 3.填空： 1）3和15的最小公倍数是___________。 2）18和36的最小公倍数是___________。 3）8和9的最小公倍数是___________。 4）8和15的最小公倍数是___________。 通过求解这四组数的最小公倍数，我们可以发现一个规律：如果两个数中一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互质，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。 4.已知甲数=2×2×3×5×7，乙数=2×3×3×5×5，则甲数和乙数的最小公倍数是___________，最大公因数是___________。 5.求下列各组数的最小公倍数： 1）7和21 2）8和12 3）9和45 4）18和48 八、求三个数的最小公倍数的方法 对于三个数的最小公倍数，可以先求出其中任意两个数的最小公倍数，然后再将所得的最小公倍数与第三个数求最小公倍数。 例如，对于8、12和30这三个数，先求出8和12的最小公倍数为24，然后求出24和30的最小公倍数为120，因此8、12和30的最小公倍数为120. 随堂训练： 填空题 1.4和5的最小公倍数是20，16和24的最大公因数是8. 2.60的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，能整除45的有1、3、5、15、45，既是60的因数，又能整除45的有15，60和45的最大公因数是15. 3.有10张卡片，选出的三张卡片为1、2、9，组成的数为129，129能同时被2、3、5整除，最小的三位数为120. 4.已知两个质数的最小公倍数是221，则这两个数为13和17，这两个数的和是30. 5.已知三个连续自然数的和是18，则这三个数为5、6、7，它们的最小公倍数是210. 二：选择题 1.B。45 2.C。126 3.A。13和91 4.A。24和42 5.B。A 三：解答题 1. 1）12÷18=0.12，18÷12=1.6，12÷6=2.0，所以12和18的最大公因数是6. 2）34÷102=0.34，102÷34=3.0，所以34和102的最大公因数是34. 3）15÷50=0.15，50÷15=3.5，15÷5=3.0，所以15和50的最大公因数是5. 2. 1）20÷30=0.20，30÷20=1.10，20÷10=2.0，所以20和30的最大公因数是10. 2）28÷84=0.28，84÷28=3.0，所以28和84的最大公因数是28. 3）54÷90=0.54，90÷54=1.36，54÷18=3.0，所以54和90的最大公因数是18. 3. 1）30=2×3×5，45=3×3×5，60=2×2×3×5，它们的最小公倍数是2×3×3×2×5=180. 2）12=2×2×3，24=2×2×2×3，36=2×2×3×3，它们的最小公倍数是2×2×2×3×3=72. 4.三根木棒的最大公因数为4，所以每根小棒的长度也必须是4的倍数。将每根木棒都截成4厘米长的小棒，第一根可以截成3根，第二根可以截成11根，第三根可以截成14根，所以每根小棒最长为4厘米。 5.长方形纸的面积为7.5×6=45平方厘米，要截成正方形，正方形的边长必须是长方形纸的因数。45的因数有1、3、5、9、15、45，其中1和45不能作为边长，长方形纸最多可以截成15×3=45块正方形，使得截得的正方形面积最大时，每块正方形的边长为3厘米