随机变量的数字特征归纳.docx

_ _ 第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 ?定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 ? ?? x ? k P?X ? x k (离散型)， EX ? ? k ? ?? xf (x)dx ??? (连续型) ， 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 设离散型随机变量 的概率分布为 ，若 ，则称级数 为随 机变量的数学期望（或称为均值） 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 设 服从 0 — 1 分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 设服从以为参数的二项分布， 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 . 设随机变量服从参数为 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，即 ， 从而有 。①常见的连续型随机变量的数学期望 。 均匀分布 设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U[a，b] (a<b),它的概率密度函数为: =则=∴ E(ξ)=(a+b) = 则 = 正态分布 (σ>0， -<μ<+)设随机变量ξ服从正态分布， ξ～ (σ>0， - <μ<+ ) 则令得∴ E(ξ)= 则 令 得 设随机变量服从参数为 的指数分布，的密度函数为 设随机变量 服从参数为 的指数分布， 的密度函数为 ，则 . 随机变量的函数的数学期望 设 y ? g (x) 为连续函数或分段连续函数，而 X 是任一随机变 量，则随机变量Y ? g( X ) 的数学期望可以通过随机变量X 的概率分布直接来求，而不必先求出Y 的概 ?率分布再求其数学期望；对于二元函数Z ? ? g ( X ,Y ) ，有类似的公式： ?? g ?x ? k ?P?X ? x k (离散型 ) ； E Y ? E g ( X ) ? ? ? ? k ?? g ( x ) f ( x )dx — ? （连续型） ． ??? g ?x , y ?P ?X ? x _ , Y ? y ?? ?； i j? ? ? i j i j 离散型 E Z ? E g X , Y ? ? ? ? ? ? ? g ? ? ? ?? ?x, y ?f ?x, y ?dxdy ? ? ．连续型 ． ij设( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，其联合概率函数 P( X ? a ,Y ? b i j ) ? p ij , i, j ? 1,2, , ?? j i j i g(a , b i j ) p ij 绝对收敛，则( X ,Y ) 的函数 g( X ,Y ) 的数学期望为 E[g( X ,Y )] ? ?? g(a , b ) p i j ij  ； 特别地 E( X ) ? ?? a i p ; E(Y ) ? ?? b ij j  p ij . j i ??f (x) ?? i i j i ? ?? g(x) f (x)dx 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 ，如果广义积分 绝对收敛， 则 X 的函数 g ( X ) 的数学期望为 E[g( X )] ? ? ?? g(x) f (x)dx ． ??设 ( X ,Y ) 为二维连续型随机变量， 其联合概率密度为 f (x, y) ， 如果广义积分 ?? ??? ??? g(x, y) f (x, y)dxdy 绝对收敛，则( X ,Y ) 的函数 g( X ,Y ) 的数学期望为 ?? ?? E[g(x, y)] ? ??? ??? g(x, y) f (x, y)dxdy ； ?? ?? 特别地 E(x) ? ??? ??? xf (x, y)dxdy , E(Y ) ? ??? ??? yf (x, y)dxdy . ?? ?? ?? ?? 注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。 2、数学期望的性质 对于任意常数c，有Ec ? c ． 例 E[E(X)]=E(X) 对于任意常数? ，有E?X ? ?EX ．例：E(aX+b)=aE(X)+b 对于任意 X , X 1 ,?, X 2 ，有E?X ? X m 1 2 ??? X m ?? EX 1 EX 2 ??? EX ． m 如 果 X , X 1 ,?, X 2 相互独立，则E?X X ? X m 1 2 m ?? EX EX 1 2 ?EX m ．(注：相互独立 有后面的结论成立，但这是单向性