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第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数情境引入通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y=6x2+12x(2)y=-4x2+8x-10解:(1)y=6(x+1)2-6,抛物线的开口向上,对称轴为x=-1,顶点坐标是(-1,-6)。解:(2)y=-4(x-1)2-6,抛物线的开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标是(1,-6)。以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?函数y=6x2+12x有最小值,最小值y=-6,函数y=-4x2+8x-10有最大值,最大值y=-6。教学新知从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6)。小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象。可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值。教学新知从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6)。小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?因此,当t=-=-=3时,h有最大值。也就是说,小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45m。?教学新知?一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,也就是说,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值。教学新知用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l 的变化而变化。当l 是多少米时,场地的面积S最大?矩形场地的周长是60m,一边长为l m,所以另一边长为(-l )m。场地的面积S=l (30-l ),即S=-l 2+30l(0<l <30)。因此,当l =-=-=15时,S有最大值==225,也就是说,当l是15m时,场地的面积S最大。?教学新知某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映;如调整价格,没涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可卖出20件。已知商品的进价为每件40元,如果定价才能使利润最大?解:涨价x元,每星期少卖出10x件,实际卖出(300-10x)件,销售额为(60-x)×(300-10x)元。买进商品需付40(300-10x)元。因此所得利润y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x)=-10x2+100x+6000,其中,0≤x≤30。教学新知解:涨价x元,每星期少卖出10x件,实际卖出(300-10x)件,销售额为(60-x)×(300-10x)元。买进商品需付40(300-10x)元。因此所得利润y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x)=-10x2+100x+6000,其中,0≤x≤30。当x_____时,y最大,也就是说在涨价的情况下,涨价______元,即定价_____元时,利润最大,最大利润是_____。识梳理知识点1:面积最值问题。①找好自变量;②利用相关的图象面积公式,列出函数关系式;③利用函数的最值解决面积最值问题。注意:自变量的取决范围。小练习如图所示,已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG,都是正方形,设BC=x。(1)AC=_____。(2)设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S,用x表示S的函数表达式为S=__________。2-x2(x-1)2+2小练习如图所示,已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG,都是正方形,设BC=x。(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?(4)总面积S取最大值或最小值时,C在AB的什么位置?(3)当x=1时,S最小=2;当x=0或x=2时,S最大=4。(4)当x=1时,C点恰好在AB的中点上,当x=0,C点恰好在B处,当x=2时,C点恰好在A处。知识梳理知识点2:利润最值问题。巧设未知数,根据利润公式列出函数关系式,再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。小练习将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个。若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售日就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价___元,最大利润______元。5625设应降价x元,则(20+x)(100-x-70)=-x2+10x+600=-(x-5)2+625,∵-1<0∴当x=5元时,二次函数有最大值。∴为了获得最大利润,则应降价5元,最大利润为625元。知识要点面积最值问题:①找好自变量;
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