高三复习之直线部分.doc

直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x轴的直线 斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线 一般式 A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线 注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则此公式为线段的中点坐标公式。 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 直线方程的求法 1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。 用待定系数法求直线方程的步骤： （1）设所求直线方程的某种形式； （2）由条件建立所求参数的方程（组）； （3）解这个方程（组）求参数； （4）把所求的参数值代入所设直线方程。 2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。 直线方程的应用 利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。 另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。 注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。 （2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。 例1. 求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。 例2. 如图，过点P（2，1）作直线，分别为交x、y轴正半轴于A、B两点。 （1）当⊿AOB的面积最小时，求直线的方程； （2）当｜PA｜·｜PB｜取最小值时，求直线的方程。 直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为. ③倾斜角的范围. （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。 ②经过两点的直线的斜率公式是 ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 ※相关链接※ 已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 1、斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同； 2、求斜率的一般方法： （1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率； （2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法： 已知若，则有A、B、C三点共线。 注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 例3.已知直线的斜率k=-cos(∈R).求直线的倾斜角的取值范围。 例4.设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证： 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线斜率存在，设为，则 注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。 两条直线位置关系的判定 已知直线，，则 （1） （2） （3） （4） 例5.已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。 （1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）； （2）∠MPN是直角。 例6.已知直线和直线，（1）试判断与是否平行；（2）⊥时，求的值。 直线的交点坐标与距离公式 （一）有关距离问题 1、点到直线的距离公