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圆中的重要模型-四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点,近年来,特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用,四点共圆的判定往往难度较大,往往是填空题或选择题的压轴题,而计算题或选择中四点共圆模型的应用(特别是最值问题),通常能简化运算或证明的步骤,使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆:若在同一平面内,有四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型(圆的定义)
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等,则这四个点共圆。这也是圆的基本定义,到定点的距离等于定长点的集合。
条件:如图,平面内有五个点O、A、B、C、D,使得OA=OB=OC=OD,
结论:A、B、C、D四点共圆(其中圆心为O)。
例1、(2023?连云港期中)如图,点O为线段BC的中点,点A、C、D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 .
例2.(2022秋·江西赣州·九年级校联考期中)如图,点O为线段AB的中点,点B,C,D到点O的距离相等,连接AC,BD.则下面结论不一定成立的是(???)
A.∠ACB=90° B.∠BDC=∠BAC C.AC平分∠BAD D.∠BCD+∠BAD=180°
例3.(2021·湖北随州·统考中考真题)如图,在中,,为的中点,平分交于点,,分别与,交于点,,连接,,则的值为 ;若,则的值为 .
例4.(2022·北京·清华附中九年级阶段练习)如图,四边形中,,,则的度数为______.
模型2、定边对双直角共圆模型
同侧型 异侧型
1)定边对双直角模型(同侧型)
条件:若平面上A、B、C、D四个点满足,
结论:A、B、C、D四点共圆,其中AD为直径。
2)定边对双直角模型(异侧型)
条件:若平面上A、B、C、D四个点满足,
结论:A、B、C、D四点共圆,其中AC为直径。
例1.(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图,在四边形 中,, 是 的中点, 是 的中点,若 ,,,则 的长为( ????)
??
A. B. C. D.
例2.(2021·湖北鄂州·统考中考真题)如图,四边形中,,,于点.若,,则线段的长为 .
例3.(2022·浙江嘉兴·二模)如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=1,AE⊥AD,交BC于点E,EA平分∠BED.(1)CD的长是 ;(2)当点F是AC中点时,四边形ABCD的周长是 .
例4.(2022·湖北武汉·校考二模)如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC边上一点,连接AD.
(1)如图1,作BE⊥AD延长线于E,连接CE,求证:∠AEC=45°;
(2)如图2,P为AD上一点,且∠BPD=45°,连接CP.若AP=2,求△APC的面积;
模型3、定边对定角共圆模型
条件:如图1,平面上A、B、C、D四个点满足,结论:A、B、C、D四点共圆.
条件:如图2,AC、BD交于H,,结论:四点共圆.
例1.(2023·江苏·九年级假期作业)如图,在RtABC中,∠BAC=90°,∠ABC=40°,将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE,使D点落在BC边上.
(1)求∠BAD的度数;(2)求证:A、D、B、E四点共圆.
例2.(2022秋·江苏无锡·九年级校考期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE,直线BD、CE相交于点O,连接AO.则下列结论中:①△ABD∽△ACE;②∠COD=135°;③AO⊥BD;④△AOC面积的最大值为8,其中正确的有(????)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例3.(2023·江苏·九年级假期作业)综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动,得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题:如图1,在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四点在同一个圆上.
探究展示:如图2,作经过点A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合),连接AE,CE,则∠AEC+∠D=180°(依据1)
∵∠B=∠D ∴∠AEC+∠B=180°
∴点A,B,C,E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)
∴点B,D在点A,C,E所确定的⊙O上(依据2)
∴点A,B,C,D四点在同一个圆上
(1)上述探究过程
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