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学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数
专题 6 指对跨阶系列一之改头换面分而治之
x
秒杀秘籍 ：第一讲 改头换面e ³x +1，x ³ln x +1( )
x x
e
常见放缩e -ln x +m ³x +1- x +m-1 2-m( ) ( ) ，将 和lnx 同时放缩成直线，这种方法叫做改头换面。
如图所示， x ，此时取等条件都相同，原因是他们在x 0 处的切线平行；
e -ln x +1 ³ x +1 -x 1( ) ( )
x 恒成立，则整数 的最大值为2，无法取等 （图3）；当 ，无法恒成立．
e -ln x +m ³0( ) m m³3
图1 图2 图3 图4
x
【例 1】（2013•新课标Ⅱ）已知函数f (x) e ln(x m) ．
（1）设x 0是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性；
f (x) m f (x)
（2）当m 2时，证明f (x) 0 ．
x 1 1
解：（Ⅰ）∵f (x) e ，x 0 是f (x) 的极值点， f (0) 1 0 ，解得m 1．所以函数
x m m
x
x x 1 e (x 1)1 x
f (x) e ln(x 1) ，其定义域为 ． f (x) e ．设g(x) e (x 1)1，则
(1,) ∵
x 1 x 1
x x
g(x) e (x 1)e 0，所以 在 上为增函数，又 ，所以当x 0 时， ，即
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