高考数学二轮复习第二部分专项三特色讲练数学传统文化学案.docx

年份 卷别 考察内容及考题地点 2018 卷Ⅲ 三视图·T3 卷Ⅰ 中国古代太极图与几何 2017 概型·T2 卷Ⅱ 数列求和·T3 2016 卷Ⅱ 秦九韶算法·T8  命题剖析 数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型，预计在高考取，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考察，也不清除以解答题的形式考察，难度适中或容易. 立体几何中的数学文化题 立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥 的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考察空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等． [典型例题] (1)(2018郑·州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算 术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖 臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格 纸上每个小正方形的边长为1)如下图，已知该几何体的高为22，则 该几何体外接球的表面积为________． (2)(2018黄·冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体 积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是 几何体的高，“幂”是截面面积．其意：如果两个等高的几何 体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相 等．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，一个焦点为(5， 0)．直线y＝0与y＝3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如 图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为________． 【解析】(1)由该几何体的三视图复原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥 A-BCD所示，其中AB＝22，BC＝CD＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A-BCD的外 接球，设外接球的直径为2R，所以4R2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R2＝3，因别的接球的表面积S＝4πR2＝12π. 2 (2)由题意可得双曲线的方程为 x2－y＝1，直线y＝3在第一象限内与渐近线的交点N 4 的坐标为3，3 ，与双曲线在第一象限内的交点 B的坐标为 13，3 ，在所得几何体中， 2 2 2 2 在高为h处作一截面，则截面面积为 π1＋h－h ＝π，根据祖暅原理，可得该几何体的体 4 4 积与底面面积为 π，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为 3π. 【答案】 (1)12π(2)3π 本例(1)以“鳖臑”为背景，考察由三视图复原几何体，并求几何体的表面积．此类问 题源于生活中的盖房问题．这将引领师生关注生产、生活中的社会问题，体现数学文化“以 数化人”的功能．对于其他几何体，如 “刍童”“羡除”等，需要赐予关注． (2)祖暅原理是我国古代数学家祖 暅提出的一个对于几何体体积的著名定理，祖 暅提出 这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人教 A版《必修2》教材第30页特意介绍 了祖暅原理．此题取材于祖暅原理，既考察了考生的基础知识和基本技术， 又展示了中华优 秀传统文化． [对点训练] 《算数书》竹简于上世纪八十年月在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有 系统的数学文籍，其中记录有求 “囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六 成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高h，计算其体积 V的近似公式V≈1L2h. 36 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π近似取为3.那么，近似公式V≈7 2 264Lh相当于将圆 锥体积公式中的π近似取为( ) 22 25 A.7 B.8 157 355 C.50 D.113 解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为 r，则V＝1πr2h≈ 7L2h＝ 7 (2πr)2h，化简 3 264 264 22 .应选A. 得π≈ 7 数列中的数学文化题 数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考 查等差数列和等比数列的观点、通项公式和前n项和公式． [典型例题] (1)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰： “我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、 马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求补偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的 一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比率偿还，牛、马、羊的主人 各应补偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多补偿( ) 50 10 A.7斗粟 B.7斗粟 15斗粟 D.20斗粟 C.7 7 (2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即 “积之有隙”者，如累棋、 层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共 n层，上底由 a×b个物体组成，以下各 层的长、宽依次增加一个物体，最下层 (即下底