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n阶矩阵的逆矩阵 矩阵是数学的一个非常重要和广泛的概念。它是线性数学和代数学的主要研究对象和重要工具。它广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域,因而也就使矩阵成为代数,特别是线性代数的一个主要研究对象。它主要讨论的是解线性方程组的理论问题,线性变换的理论,旋转坐标轴变换公式的矩阵表示,二次曲线一般方程的矩阵表示,国民经济中的调运方案等等问题。可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,它犹如有理数中的倒数。那么可逆矩阵的判定就显得非常重要了。 判定矩阵可逆性的方法有定义法、行列式法、初等变换法、初等矩阵法、对角矩阵法、线性方程组法等等。 一、 逆矩阵与可逆矩阵 定义1:设A是数域F上一个n阶矩阵,若存在F上的n阶矩阵B,使得 其中I是n阶单位矩阵,那么A叫做一个可逆矩阵,B叫做A的逆矩阵。 注意:根据矩阵乘积的定义,满足上述定义的A必为n阶方阵,从而有 定理1:对于n阶方阵A,若存在F上n阶方阵B,使得 则A可逆。 二、 确定矩阵可逆性方法：列方程法 定理2:对n阶矩阵A,若det A≠0,则矩阵A可逆。 求逆矩阵的伴随矩阵公式 如上例中 三、 确定矩阵可逆性方法—判定矩阵可逆性方法——初等变换法 (一) 不等于零的子式 矩阵的秩是指一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数。若一个矩阵没有不等于零的子式,就认为它的秩是零,它也是判定矩阵可逆性的一种方法。 定理3:若一个n阶矩阵A的秩等于n,则矩阵A可逆。 (二) 君列的可逆矩阵 定义2:对一个矩阵施行下列变换: 1. 交换矩阵的某两行(列)的位置; 2. 矩阵的某一行(列)乘以一个非零数k,即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素; 3. 矩阵的某行(列)乘以数k加到另一行(列),即用某一数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素后加到另一行(列)的对应元素上。 定理4:对矩阵A施行初等变换后,得到矩阵可逆,则A可逆. 定理5:对矩阵A施行初等变换后,得到的阶梯形矩阵的非零行数为n,则A可逆. 定理6:对矩阵A施行初等变换后,若得到的标准形矩阵为单位矩阵,则A可逆. 用初等变换法求逆矩阵: 我们施行初等变换把A化为I,但每次对右边的矩阵施行同样的初等变换,从第二行和第三行分别减去第一行的3倍和-1倍,得 进行一系列行初等变换后,得 最后一个矩阵就是A-1,即 矩阵是否可逆根据上面的例子可得,它不会因为施行了初等变换而有所改变。正是因为这样,它才是判定矩阵可逆性最普遍、最重要的一种方法. 四、 可逆初等矩阵的生成 定义3:对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵. A軍是经过对A施行初等变换得到的,那么存在一个对应的初等矩阵E使 用E的逆矩阵E-1左乘上式的两端,得 E-1可逆,当可逆时,A也可逆. 定理7:n阶矩阵,可以写成初等矩阵的乘积时可逆. A可以通过一系列初等变换化为单位矩阵I,就是说,单位矩阵I可以通过一系列初等变换化为A,存在初等矩阵E1,…,Es,Es+1,…,Et使 A可逆,A可以表示成初等矩阵的乘积 于是Et-1E-1t-1…E1-1A=I 初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,对A施行行初等变换将A化为单位矩阵I,用A-1右乘上式两端,得 五、 对角矩阵可逆性 一个m×n矩阵A总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵 这里Ir是R阶单位矩阵,Ost表示s×t的零矩阵,r等于A的秩,A軍是一个对角矩阵。对角矩阵是指除主对角线以外的元素全为0的矩阵。对角矩阵是否可逆这是很容易看出的,当A軍等于单位矩阵I时,A軍可逆,因为I本身就是I的逆矩阵。当一个矩阵通过变化后得到上述两种矩阵,则原矩阵A可逆。这两种矩阵和上面的初等矩阵都是判定矩阵可逆性的一种特殊情况,只要它们具有可逆性,那么矩阵也就具有了。 定理8:对矩阵A施行初等变换后,如果得到的矩阵为对角线上的元素都不等于零的对角矩阵,那么A可逆。 六、 deta=0的计算 这里Ast是行列式det A中元素ast的代数余子式,由此容易看出 那么 当A*可逆时,det A≠0 它是求逆矩阵的公式,但同时它也可以判定一个矩阵是否具有可逆性,这也算是一种方法,它的计算量非常大,一般主要在理论方面。 七、 当方程的系数行列式deta=0时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时,系数矩阵a可逆时系数矩阵a 利用矩阵乘法可以把这个线性方程组写成 这里(aij)=A是方程组的系数矩阵,当方程组的系数行列式det A≠0时,系数矩阵A可逆。这样可以求出线性方程组的解,这是矩阵一种常见的应用,不属于矩阵可逆性判定的方法,但是非常重要,因此把它放在这里。 八、 可逆性判定矩阵 定理