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一般n阶行列式函数的高阶导数 许多相关数学的教科书文献中都出现了简单的行列式函数问题。在这些手册中，关于行列式函数导数的讨论仍然只是一个导数或偏导数。谭福金进一步研究了行列式函数的导数，但只提供了一组三函数乘数（即三次角行列式）的1-9个导数，而没有找到普通形式的三阶函数及其以上行列式函数的高导数公式。作者研究了一般n阶行列式函数的高导数问题。 1 fpsef1xfpse,f1xtfna的编码及k1xtfnnxfpnxfpnxfpnxfpnxfnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxbpnxnxb]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b3bnxb]b]b]b]knxb]b]b]b]b]b3xb]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b3xbnxbnxbnxbnxbnxbnxbnxb]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]b]bnxbnxbnxbnxbnxbnxbnxbnxbnxbnxbnxbn 引理设函数fij(x)(i,j=1,2,…,n)在区间I内可导,则行列式函数 f(x)=|f11(x)f12(x)?f1n(x)f21(x)f22(x)?f2n(x)???fn1(x)fn2(x)?fnn(x)| 也在I内可导,且有 f′(x)=n∑i=1|f11(x)f12(x)?f1n(x)???f′i1(x)f′i2(x)?f′in(x)???fn1(x)fn2(x)?fnn(x)|. 在下文中,将用到如下一些符号: f(x)=|f11(x)f12(x)?f1n(x)f12(x)f22(x)?f2n(x)???fn1(x)fn2(x)?fnn(x)|, f(k1,k2???kn)(x)?|f(k1)11(x)f(k1)12(x)?f(k1)1n(x)f(k2)21(x)f(k2)22(x)?f(k2)2n(x)???f(kn)n1(x)f(kn)n2(x)?f(kn)nn(x)|, 其中ki∈N,0≤ki≤m(i=1,2,…,n),且k1+k2+…+kn=m,m为f(x)的导数阶数.在不引起混淆的情况下,用f(k)ij和f(k1,k2,…,kn)分别表示f(k)ij(x),f(k1,k2,…,kn)(x). 2 k阶行列式的分析 定理1若fij(i,j=1,2)均为区间I上的m阶可导函数,则也在I上m阶可导,且有f(m)=m∑k2=0Ck2mf(m-k2,k2). 证明对m进行数学归纳证明.当m=1时, f′(x)=|f11′f12′f21f22|+|f11f12f21′f22′|=C01f(1,0)+C11f(0?1)=1∑k2=0Ck21f(1-k2?k2), 即,m=1时结论成立.假设m=k时,结论也成立,即是 f(k)=C0kf(k,0)+C1kf(k-1,1)+C2kf(k-2,2)+…+Ck-1kf(1,k-1)+Ckkf(0,k), 对上式进行求导.根据引理有 f(k+1)=C0kf(k+1,0)+C0kf(k,1)+C1kf(k,1)+C1kf(k-1,2)+C2kf(k-1,2)+C2kf(k-2,3)+?+Ck-1kf(2,k-1)+Ck-1kf(1,k)+Ckkf(1,k)+Ckkf(0,k+1)=C0kf(k+1,0)+(C0k+C1k)f(k,1)+(C1k+C2k)f(k-1,2)+?+(Ck-1k+Ckk)f(1,k)+Ckkf(0,k+1)=C0k+1f(k+1,0)+C1k+1f(k,1)+C2k+1f(k-1,2)+?+Ckk+1f(1,k)+Ck+1k+1f(0,k+1)=k+1∑k2=0Ck2k+1f(k+1-k2,k2), 即,m=k+1时,结论成立.由归纳原理,对任意自然数m,结论都成立. 定理2若fij(i,j=1,2,…,n)均为区间I上的m阶可导函数,f(m)=m∑kn=0m-kn∑kn-1=0?m-(kn+kn-1+?+k3)∑k2=0CknmCkn-1m-kn?Ck2m-(kn+kn-1+?+k3)f(k1?k2,?,kn), 其中,k1+k2+…+kn=m,n≥2. 证明当n=2时,由定理1知,结论是成立的.假设对于一切阶数小于k的行列式函数,结论都成立.对于k阶行列式函数来说,f(x)=k∑i=1(-1)k+ifkiAki,其中,Ak i为fk i的代数余子式.记 则 f(x)=k∑i=