第34届全国物理竞赛复赛试题解答高清版 .pdf

第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 2017 年 9 月 16 日 一、 （40 分）一个半径为 r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于 一个半径为 R 、质量为 M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均 水平，横截面如图所示。重力加速度大小为 g 。试在下述两种情 形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2 ）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底 R 部附近作无滑滚动。 解：  （1）如图， 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。 小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力 大小为 F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动 定理得 F  mg sin ma ① 式中， a 是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无  滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度 （规定小圆柱在最低点时 1    0 ）与 之间的关系为 1     R  r(  ) ② 1  R 由②式得，a 与 的关系为 d 2 d 2  1 a  r 1  (R  r) ③ dt2 dt2 考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 d 2 rF  I 1 ④ dt2 式中， I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量 1 I  mr2 ⑤ 2 由①②③④⑤式及小角近似   sin  ⑥ 得 d 2  2g  0 ⑦ dt2 3(R  r) 由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 1 g f  ⑧ π 6(R  r)   （2 ）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，和 分别为小圆柱与圆筒转过的角 度