第二章解析函数.ppt

例题 解 若 ，规定 ， 求 w(2) ， w(i) ， w(0) ， w(-i) 。 第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日 第三十页，共四十三页，2022年，8月28日 实质 = 限制 z 的变化方式 限制多值函数的自变量的取值范围后，多值函数被划分为若干个单值函数，其中的每一个单值函数称为多值函数的单值分支。 规定辐角的变化范围?多值函数单值化 定义 定义 多值函数 = 单值分支 1 + 单值分支 2 +……+ 单值分支 n，n = ∞ 单值分支 连接多值函数的两支点割开平面的线称为割线。 割线 第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日 第一页，共四十三页，2022年，8月28日 2.1 可导与可微 定义 设单值函数 ， ，满足 称 f(z) 在 z 点可导，此极限称为 f(z) 在点 z 的导数， 记作 。 若 在点 z 的改变量 可写为 ，其中 ，则称 在 z 点可微， 称为 w 在 z 点的微分，记作 。 定义 第二页，共四十三页，2022年，8月28日 定理 w = f(z) 在 z 点可导，则一定在该点可微，反之亦然， 且 。 函数可导的必要条件——柯西-黎曼方程（C-R 条件） 若函数 f(z) 在 z = x + iy 点可导， 以任意方式→0， 同样值。 第三页，共四十三页，2022年，8月28日 特殊路经一： （平行于实轴） 函数按虚部实部分开： 极限按虚部实部分开： z II x y I 第四页，共四十三页，2022年，8月28日 特殊路经二： （平行于虚轴） 函数按虚部实部分开： 极限按虚部实部分开： 分子分母同乘以 -i ： 第五页，共四十三页，2022年，8月28日 ——C-R条件，必要而非充分条件。 则有： 第六页，共四十三页，2022年，8月28日 定理 若 u、v 的偏导数存在且连续，C-R 条件是函数可导的充要条件。 证明 (1)必要性：由推理过程已证。 (2)充分性： ∵ 存在且连续， ∴ 和 可微， 即 第七页，共四十三页，2022年，8月28日 ∵高阶无穷小量 有 ∴ （根据 C-R 条件） 第八页，共四十三页，2022年，8月28日 ∴ f(z) 可导。 第九页，共四十三页，2022年，8月28日 导数的几何意义 第十页，共四十三页，2022年，8月28日 2.2 解析函数 区域 G 内每一点都可导的函数称为 G 内的解析函数。 [ ，处处可导， f(z) 为 G 的解析函数。] 定义 解析函数 柯西-黎曼方程 ，u、v 不是相互独立的， 第十一页，共四十三页，2022年，8月28日 例题 解 已知 ，求 。 ?涉及到的高数知识： ① ， ② 反函数的导数 = (直接函数的导数)-1 ③ ∵ 第十二页，共四十三页，2022年，8月28日 分子提取 后 且 第十三页，共四十三页，2022年，8月28日 又∵ C-R 方程 ， ∴ 当 ，并取积分路经为 时，得 第十四页，共四十三页，2022年，8月28日 代入 和 有 令 第十五页，共四十三页，2022年，8月28日 已知 ，求 。 例题 解 方法一： 当 ，并取积分路经为 时，得 第十六页，共四十三页，2022年，