【数学】中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习附答案解析.doc

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF； （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可； （2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可． 【详解】 （1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得， 解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4； （2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m， ∴直线m的解析式为y=x． ∵点P是直线1上任意一点， ∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a． 又∵PE=3PF， ∴． ∴∠FPC=∠EPB． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP⊥PE． （3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a． ∵CF=3BE=18﹣3a， ∴OF=20﹣3a． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴，， ∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a． 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q（﹣2，6）． 如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6． ∵CF=3BE=3a﹣18， ∴OF=3a﹣20． ∴F（0，20﹣3a）． ∵PEQF为矩形， ∴，， ∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a． 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q（2，﹣6）． 综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键． 2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值； ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）． 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】 （1）将A，B，C代入函数解析式， 得，解得， 这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3； （2）设BC的解析式为y=kx+b， 将B，C的坐标代入函数解析式，得 ，解得， BC的解析式为y=x﹣3， 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）， PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+， 当n=时，PM最大=； ②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2， n2﹣2n﹣3=-3， P（2，-3）； 当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-， n2﹣2n﹣3=2-4， P（3-，2-4）； 综上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，涉