第五章计数原理知识点清单 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.docx

PAGE2 / NUMPAGES2 新教材 北师大2019版 数学选择性必修第一册 第五章知识点清单 目录 第五章 计数原理 　　§1 基本计数原理 　　§2 排列问题 　　§3 组合问题 　　§4 二项式定理 第五章 计数原理 §1 基本计数原理 一、两个基本计数原理的定义 完成一件事的情况 完成这件事的方法种数 分类加法 计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法 N=m1+m2+…+mn 分步乘法 计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法 N=m1·m2·…·mn 二、 两个基本计数原理的比较 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法都不能独立完成这件事) 相同点 两个基本计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 三、利用分步乘法计数原理解决实际问题 1. 分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在每个步骤中各任取一种方法，即是完成这件事的一种方法. 在利用分步乘法计数原理解决问题时一定要清楚事件发生的主体，从主体入手分析，理解问题中谁可以剩余. 四、两个基本计数原理的选择与应用 1. 两个基本计数原理在解决计数问题中的应用 　　用两个基本计数原理解决计数问题时，最重要的是分清分类还是分步. （1）分类：（要做到“不重不漏”） 分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数 （2）分布：（要做到“步骤完整”） 完成了所有步骤，恰好完成任务. 分布后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 2. 类中有步，步中有类 ? 从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法. ? 从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法. “类”用“+”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可. 3. 应用两个基本计数原理的常用方法 (1)当涉及元素数目不大时，一般选用列举法. (2)当涉及元素数目很大时，一般有两种方法： ①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理进行分析求解. ②间接法：先去掉限制条件，计算方法总数，然后减去所有不符合条件的方法数即可. 五、用计数原理解决涂色问题 1. 解决涂色问题的常用方法有两种： ①规定涂色的顺序，一步一步地涂，根据分步乘法计数原理计算； ②对所用的颜色种数分类，在每一类中用分步乘法计数原理计算，最后求各类方法数的总和. §2 排列问题 一、排列、排列数与排列问题 1. 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2. 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A 3. 我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题. 二、排列数公式与阶乘 1. 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2) ·…·[n-(m-1)]种，所以Anm=n(n-1)(n-2)· 2. 当m=n时， Ann=n(n-1)(n-2)·… 3. 阶乘的相关结论 (1)规定： An (2)排列数公式的另一种形式： Anm=n!(n?m)! (m≤ 三、有限制条件的排列问题 1. “在”与“不在”的问题 　　解决“在”与“不在”的问题，常用的方法有特殊位置分析法、特殊元素分析法. 若以位置为主，则需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置，若有两个及两个以上的约束条件，则在考虑一个约束条件的同时也要兼顾其他条件；若以元素为主，则需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素. 当直接求解困难时，可考虑用间接法求解，即先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数. 2. “相邻”与“不相邻”问题 (1)“捆绑法”解决相邻问题 将n个不同的元素排成一列，其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上，求不同排法种数的方法如下： ①将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体； ②把这个整体当成一个元素与其他元素一起排列，有An?k+1 ③“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，其排列方法有Ak ④由分步乘法计数原理知，符合条件的排法有An (2)“插空法”解决不相邻问题 　　将n个不同的元素排