第7章计数原理知识点清单 高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册.docx

PAGE2 / NUMPAGES2 新教材 苏教版2019版 数学选择性必修第二册 第7章知识点清单 目录 第7章　计数原理 7. 1　两个基本计数原理 7. 2　排列 7. 3　组合 7. 4　二项式定理 第7章　计数原理 7. 1　两个基本计数原理 一、分类计数原理（加法原理） 1. 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 二、分步计数原理（乘法原理） 1. 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 三、两个基本计数原理的比较 1. 分类计数原理与分步计数原理的比较 分类计数原理 分步计数原理 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方式中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事 相同点 都可用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 四、两个基本计数原理的选择与应用 1. 应用分类计数原理解题的一般思路 2. 应用分步计数原理解题的一般思路 应用分步乘法原理时，要确定好顺序，还要注意元素是否可以重复选取. 3. 两个计数原理的综合应用 (1)类中有步 从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法. (2)步中有类 从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法. “类”用“+”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可. 五、解决计数问题的常用方法 1. 在计数问题中常涉及元素与位置，解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素. 2. 当涉及元素数目不大时，一般选择用列举法、数形图法. 当涉及元素数目较大或情况比较复杂时，一般有两种方法： (1)直接法：直接应用分类计数原理或分步计数原理解题. (2)间接法：先去掉限制条件，计算方法总数，然后减去所有不符合条件的方法数，从而得到正确答案. 3. 涂色(种植)问题一般是直接利用两个基本计数原理求解，常用方法如下： (1)根据区域的不同，以区域为主分步计数，用分步计数原理分析； (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，用分类计数原理分析. 7. 2　排列 一、排列、排列数与排列数公式 排列 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An 排列数公式 Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，其中n，m∈N*，且m 二、全排列、阶乘的概念及相关结论 1. 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列. 2. n的阶乘 在排列数公式中，当m=n时，即有Ann=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1，n(n-1)·(n-2)× ×2×1称为n的阶乘，通常用n!表示，即An 3. 阶乘的相关结论 (1)规定：0!=1； (2)排列数公式的另一种形式： Anm=n!(n?m)! (其中n，m∈N* 三、排列数及其运算 1. 排列数运算的方法与技巧 (1)拆项技巧 ①n·n!=(n+1)!-n!； ②n?1n!=1(n?1)!- (2)化简技巧 ①n!=n·(n-1)!=n(n-1)·(n-2)!； ②Anm=nAn?1m?1； 2. 解有关排列数的方程或不等式的步骤 ? 四、有限制条件的排列问题 1. “在”与“不在”的问题 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题是典型的特殊元素或特殊位置问题. 解决“在”与“不在”的排列问题的原则是谁“特殊”谁优先. 解题思路如下： 2. “相邻”与“不相邻”问题 限制条件 解题策略 元素相邻 通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看成一个整体并与其他元素进行排列 元素不相邻 通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空中 3. “定序”问题 在排列问题中，某些元素在题意中已排定了顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个元素的全排列中有m(m<n)个元素的顺序固定，则满足题意的排法有Ann 7. 3　组合 一、组合、组合数的概念 1. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2. 组合数：从n个不