6.7 用相似三角形解决问题（含答案析）-九年级数学尖子生考点培优专题训练（苏科版，图形的相似）.docx

6.7 用相似三角形解决问题 （满分100分 时间：40分钟） 班级 姓名 得分 一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．如图，在平面直角坐标系内，矩形的顶点与原点重合，点在第二象限，点和点在第一象限，对角线的中点为点，且点在反比例函数的图像上，若点的纵坐标为4，且，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 过点C作FE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥EF，垂足为F，设点C（a，b），则OE=a，EC=b，用a,b的代数式表示B的坐标，点D的坐标，继而得到a,b的另外一个等式，联立求解即可． 【详解】 如图，过点C作FE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥EF，垂足为F，设点C（a，b），则OE=a，EC=b， ∵四边形OCBA是矩形，∴∠BCO=90°， ∴∠OCE+∠FCB=90°， ∵∠FBC+∠FCB=90°， ∴∠FBC=∠ECO， ∵∠F=∠CEO=90°， ∴△ECO∽△FBC ∴， ∴FB=EC=b，FC=EO=a， ∵点的纵坐标为4， ∴FC+EC=4， ∴a +b=4， 过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N， 则四边形BFEM是矩形，BM=4， ∴OM=OE-ME=a-b， ∵的中点为点， ∴DN是三角形OBM的中位线， ∴DN=2，ON=， ∴点D（，2）， ∵点在反比例函数的图像上， ∴×2=ab， ∴a-（4-a）=a（4-a）， ∴a-4+3a=4a- ∴=4， ∴a=2或a= -2， ∵点C在第一象限， ∴a＞0， ∴a= -2 不符合题意，舍去， ∴a=2， ∴b=4-a=4-2， ∴k=ab=2（4-2）=， 故选A． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三角形的相似，互余原理，反比例函数的性质，作垂线构造相似三角形是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则AB的长为（ ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】 连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝FA＝5，再根据正弦的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20． 【详解】 解：连接BD，如图， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， 而∠DCA＝∠ABD， ∴∠DAC＝∠ABD， ∵DE⊥AB， ∴∠ABD+∠BDE＝90°， 而∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠ABD＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴FD＝FA＝5， 在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝, ∴EF＝3， ∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8， ∵∠ADE＝∠DBE， ∠AED＝∠BED， ∴△ADE∽△DBE， ∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8， ∴BE＝16， ∴AB＝4+16＝20． 故答案为：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 3．如图，矩形中，，，平分，交于点，，垂足为点，，垂足为点．则以下结论：①；②；③；④，⑤,其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】 过点F作FH⊥AC，由角平分线的性质得到HF=DF，延长CE与AD的延长线交于点M， 又AF平分∠CAD，AF⊥CE，由“三线合一”逆定理，得到AC=AM，CE=EM.再设HF=DF=x,由等积法得到，从而求出关键的DF的值.利用勾股定理得到AC=AH=, 有DM=，，所以CE=，而后找到图中常见的相识三角形并利用其性质逐一推理计算判断即可. 【详解】 解：∵∠CEF=∠CEA=90°，∠CAE=∠EAD=∠FCE, ∴； 故① 对； 若成立，则易知∠BAC=∠EAC=∠FAD=30°,则在中BC=AB，而BC=2，AB=4，BC=AB，故假设不成立. ②不对； 过点F作FH⊥AC，∵AF平分∠CAD，AD⊥DF，∴HF=DF=x，则CF=4-x， 又∵ , ∵， ∴ 解得 ∴, ∴，故④对； 又∵， 延长CE与AD的延长线交于点M， ∵AF平分∠CAD，AF⊥CE， ∴AC=AM=，CE=EM=, ∴DM=，又∵ ∴ ∴，故③对； ∵∠CGE=∠ADF=90°，∠