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一、 微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
f (a) =f (b)
罗尔定理 拉格朗日中值定理
f (x) =0 ¢ f (b) -f (a)
f (x) =
F (x ) =x b -a
F (x ) =x
f (a) =f (b) n =0
柯西中值定理 泰勒中值定理
f (b) -f (a) = f (x) f (x ) =f (x 0 ) +f (x 0 )(x -x0 )
¢ (n) n
F (b) -F (a) F (x) 1
++ f (x 0 )(x -x0 )
n!
+ 1 f (n+1) (x)(x -x0 )n+1
(n+1)!
2. 微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态
(2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法:
(1)证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用 定理,
可用原函数法找辅助函数 .
(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
中值定理 .
(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用
中值定理 .
(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
例1. 设函数 在 内可导, 且
证明 在 内有界.
证: 取点 x0 ˛(a ,b), 再取异于x0 的点x ˛(a ,b), 对
为端点的区间上用拉氏中值定理, 得
f (x ) -f (x0 ) =f (x)(x -x0 )
\ f (x ) = f (x0 ) +f (x)(x -x0 )
£ f (x0 ) + f (x) x -x0
£ f (x0 ) +M (b -a) =K (定数)
可见对任意 x ˛(a ,b), f (x ) £K , 即得所证 .
例2. 设 在 上连续,
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