2023届高三文数学专题讲座.ppt

三、祖冲之父子的解决办法 祖冲之(429--500),中国南 北朝时期杰出的数学家、天文 学家和机械制造专家，祖籍今 河北省涞源县. 祖暅，也是著名的数学家和天文学家，继承和发展了其父亲的科学事业.《缀术》是他们父子完成的数学杰作. 祖冲之(429--500) 球体积公式 内棋（八分之一合盖） 球体积公式 八分之一合盖的截面 球体积公式 外棋（“立方之内、合盖之外”部分） 祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一来研究。? “缘幂势既同，则积不容异 + = 由祖暅原理， 1994年哈佛大学主编的《微积分》收录该方法 小牟合方盖体积= 2r3/3 牟合方盖体积=16r3/3 故：球体体积=(π/4)(16r3/3)=4πr3/3 案例 8 曲线的切线 笛卡儿：切线问题“是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的问题”。 曲线的切线 欧几里得《几何原本》 圆的切线：与圆相遇、但延长 后不与圆相交的直线。 第3卷命题16推论：“过圆的直 径的端点作和它成直角的直线 与圆相切。” Euclid（about 325 BC - about 265 BC） 曲线的切线 阿波罗尼斯《圆锥曲线》 命题32称：“从圆锥曲线顶点作 直线与相应纵坐标线平行，则该 直线与圆锥曲线相切，且在圆锥 曲线与该直线之间不能再插入另 外的直线。” Apollonius （about 262 BC - about 190 BC） 案例 8 曲线的切线 命题33－34：圆锥曲线的切线作图 案例 8 曲线的切线 案例 8 曲线的切线 案例 8 曲线的切线 案例 8 曲线的切线 阿基米德《论螺线》 Archimedes（287 BC - 212 BC） 曲线的切线 17世纪数学家遇到的三类问题 一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，洛必达在其《无穷小分析》中列专章加以讨论。早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。 曲线的切线 曲线的切线 二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。 三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图10中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图11中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。 古希腊欧几里得与阿波罗尼斯分别从同样的角度定义圆与圆锥曲线的切线 ：切线与圆的公共点个数为1；圆位于切线的同一侧；切线和圆之间不能插入其他直线。 在古典几何阶段，对于切线的定义限于特殊曲线，另一方面限于静态的关系，即公共点唯一以及切线与曲线的位置关系，直到17世纪，罗波瓦尔发展了阿基米德的运动学概念，把切线定义为合速度方向所在直线。 同时代的，费玛和笛卡尔分别提供了切线的做法 案例 8 曲线的切线 费马的方法 费马的方法 通过假设切线上两点的距离与曲线上两点的实际距离几乎等长，利用增量列等式求出切线的长度，从而知道切线与X轴交点的位置，最后作出切线 案例 8 曲线的切线 笛卡儿的方法 René Descartes（1596 – 1650） 笛卡尔的方法 圆法：先经过曲线的两点作一圆心在x轴的圆，联立曲线与圆的方程，求所得方程的两个等根，等根意味者两个交点相重合，从而找到法线（过切点与切线垂直）所经过点的横坐标，再寻找切线。这是切线作为“割线的极限位置”的概念首次出现在印刷品中。 案例 8 曲线的切线 洛必达《无穷小分析》 曲线的切线是曲线的内接 “无穷边形”一边的延长线。 G. L’ Hospital（1661-1704） 案例 8 曲线的切线 切线图像正例、反例 静态定义：切线与切线只接触于一点，且位于曲线一侧的直线（欧，阿，阿） 运动定义：切线是物体运动轨迹上任一点的运动方向所在直线（罗） 极限定义：切线是割线的极限（费，笛，莱，洛） 课本上采用的是极限定义 两点接近定义，一点无线接近切点 已知圆上一点坐标，求在该点处的切线方程 法一：设切线方程