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第五章 相交线与平行线
5.4 平行线的性质及平移(能力提升)
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
要点诠释:
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提 “两直线平行”.
(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线
的距离.
要点诠释:
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.
(2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.
要点三、命题、定理、证明
1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题.要点诠释:
(1)命题的结构:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
(2)命题的表达形式:“如果……,那么…….”,也可写成:“若……,则…….”
(3)真命题与假命题:
真命题:题设成立结论一定成立的命题,叫做真命题.
假命题:题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.
2.定理:定理是从真命题(公理或其他已被证明的定理)出发,经过推理证实得到的另一个真命题,定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明:在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.
要点诠释:
(1)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.
(2)判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明;判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可.
要点四、平移
1. 定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移.
要点诠释:
(1)图形的平移的两要素:平移的方向与平移的距离.
(2)图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.
2. 性质:
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离,平移不改变线段、角的大小,具体来说:
(1)平移后,对应线段平行且相等;
(2)平移后,对应角相等;
(3)平移后,对应点所连线段平行且相等;
(4)平移后,新图形与原图形是一对全等图形.
要点诠释:
(1)“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离.
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别,前者是通过连接平移前后的对应点得到的,而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3. 作图:
平移作图是平移基本性质的应用,在具体作图时,应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连.
(1)定:确定平移的方向和距离;
(2)找:找出表示图形的关键点;
(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;
(4)连:按原图形顺次连接对应点.
【典型例题】
类型一、平行线的性质
例1、如图,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°,则∠AED=( )
A.65° B.115° C.125° D. 130°
【答案】B.
【解析】
解:∵AB∥CD,
∴∠C+∠CAB=180°,
∵∠C=50°,
∴∠CAB=180°-50°=130°,
∵AE平分∠CAB,
∴∠EAB=65°,
∵AB∥CD,
∴∠AED=180°﹣∠EAB=180°-65°=115°.
【总结升华】题考查了平行线的性质,角平分线的定义,比较简单,准确识图并熟记性质是解题的关键.
举一反三:
【变式】如图所示,已知a∥b∥c,∠1=105°,∠2=140°,则∠3的度数是( )
A.75° B.65° C.55° D.50°
【答案】B
类型二、两平行线间的距离
例2、下面两条平行线之间的三个图形,图 的面积最大,图 的面积最小.
【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半;两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同,所以可以通过比较平行四边形的底的长短,得出平行四边形面积的大小.
【答案】图3,图2
【解析】
解:因为它们的高相等,三角形的底是8,8÷2=4,梯形的上、下底之和除以2,(2+7)÷2=4.5;5>4.5>4;所以,图3平行四边形的面积最大,图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质,得出梯形、三角形、平行四边形的高相等,求出三角形底的一半
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