原创力文档- 1、本文档共34页，可阅读全部内容。
- 2、原创力文档（book118）网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途，未经授权，严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等，侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如您付费，意味着您自己接受本站规则且自行承担风险，本站不退款、不进行额外附加服务；查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档，您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击“版权申诉”（推荐），也可以打举报电话：400-050-0827(电话支持时间：9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档，如果想要下载，成为VIP会员后，下载免费。
- 6、成为VIP后，下载本文档将扣除1次下载权益。下载后，不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后，您将拥有八大权益，权益包括：VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传，每下载1次， 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等，对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
第十八章 环与域
1. 环的定义及其性质
环的定义
环的性质
特殊的环
有限域
2. 子环、理想、商环、环同态
子环定义及判别
理想、商环、环同态
1
环的定义
定义：设代数系统<R, +, ·>满足
<R, +>构成Abel 群
<R, ·> 构成半群
·对+ 运算满足分配律
符号说明：
0: +的单位元； 1 ：如果·有单位元，记为1
-x : x 关于+的逆元， x-1 ：如果x 关于·有逆元，记为x-1,
nx: x 关于+的n次幂， n
x : x 关于 ·的n次幂
x-y : x + (-y )
xy : x·y
2
环的实例
◼ 数环 Z, Q, R, C 关于普通加法与乘法
◼ <Z , ⊕, >
n
◼ <M (R), +, >
n
◼ <P(B), ⊕, ∩>
3
环的性质
1. a0 = 0a = 0 (0是·的零元)
2. (-a)b = a(-b) = -(ab)
3. (-a)(-b) = ab
4. a(b-c) = ab-ac, (b-c)a = ba-ca
5 ． n n n m
a a =a b
i j i j
i=1 j =1 i=1 j =1
6 ．(na)b = a(nb) = n(ab)
4
证明
证(1) "a ∈A ，a •0=0 •a=0
a •0 =a •(0+0) =a •0+a •0
由加法消去律得a •0=0。
同理可证0 •a=0
(2) "a,b ∈A ，a •(-b)=(-a) •b=-(a •b)
a •b+(-a) •b =[a+(-a)] •b =0 •a =0
所以(-a) •b=-(a •b)
同理可证(-a) •b=-(a •b)
5
证明 （续）
(3)"a,b ∈A ，(-a) •(-b)=(a •b)
根据(2)有
(-a) •(-b) =-(a •(-b)) =-(-(a •b)) =a •b
(4)"a,b,c ∈A ，a •(b-c)=a •b-a •c
a •(b-c) =a •[b+(-c)] =a •b+a •(-c) =a •b+(-a •c) = a •b-a •c
"a,b,c ∈A ，(b-c) •a=b •a- c •a
(b-c) •a =[b+(-c)] •a =b •a+(-c) •a=b •a+(-c •a) =b •a-c •a
6
证明 （续）
n n n m
a
文档评论（0）