2.1 等式的性质与不等式的性质（含答案析）（专题2.1 等式的性质与不等式的性质-高一数学新教材第一册同步学案（人教版））.docx

2.1 等式与不等式的性质 运用一 不等式等式性质 【例1】若为实数，则下列命题正确的是________（填序号）． （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则； （4）若，则；（5）若，则；（6）若，则； （7）若，则；（8）若，则；（9）若，则 【答案】（4）（5）（7） 【解析】对于（1），若，显然不成立，命题不正确； 对于（2），若，则不成立，命题不正确； 对于（3），若，则，命题不正确； 对于（4），若，则两边同时除以得，命题正确； 对于（5），因为，两边同时乘以可得，两边同时乘以可得，所以，命题正确； 对于（6），因为，所以所以，命题不正确； 对于（7），因为，由性质3可得，命题正确； 对于（8），若，则不成立，命题不正确； 对于（9），若，则不成立，命题不正确．故填（4）（5）（7） 【触类旁通】 1．若，则下列不等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，故A对； ∵，∴，，∴，故B错； ∵，∴，即，∴，故C对； ∵，∴，∴，即，故D对；故选B． 2．（2019·乌鲁木齐市第四中学高一期中）下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A选项，当时，，A选项错误； 对于B选项，取，，，，则，，不成立，B选项错误； 对于C选项，取，，，，则，，不成立，C选项错误； 对于D选项，当时，则，由于，所以，，D选项正确. 故选：D。 3．（2019·安徽毛坦厂中学高一期末（文））若，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A.与的大小不确定，所以该选项错误； B.,所以该选项错误； C.,所以该选项错误； D.,所以该选项正确.故选：D 运用二 代数式的取值范围 【例2】(1)（2019·广东高考模拟（理））已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． (2)（2019·浙江绍兴一中高一月考）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】(1)C(2)B 【解析】(1)令 则，∴， 又，…∴①， ∴…②∴①②得． 则．故选C． (2)令，，, 则 又，因此，故本题选B. 【思路总结】 【思路总结】 代数式的取值范围的一般思路： 借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； 借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解． 【触类旁通】 1．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令4a﹣2b＝x（a﹣b）+y（a+b），即，解得：x＝3，y＝1，即4a﹣2b＝3（a﹣b）+（a+b）. ∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6，∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10 故选：B． 2．（2019·广东高考模拟（文））设，且1是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】又因为1是一元二次方程的一个实根， 所以有，且，所以， 所以，所以排除A、B两项， 当时，，所以，此时， 当时，，此时， 当时，，所以，此时， 所以，故选C. 运用三 比较大小 【例3】(1)设，则的大小顺序是______． （2）已知a＞0，b＞0，试比较与的大小； （3）已知a＞0，b＞0，试比较与的大小 【答案】(1)（2）（3） 【解析】 (1)∵，∴， ， 而，， ，∴， ∴，故答案为：． 因为a＞0，b＞0，所以＞0，＞0，所以 当a＞b时，，a－b＞0，则,即＞ 当a＝b时，，a－b＝0，则，即＝ 当a＜b时，，a－b＜0，则，即＞ 综上，可得：当a＞0，b＞0时，，当且仅当a＝b时等号成立 方法一：作差法 因为，，，所以 当且仅当a＝b时等号成立，所以(当且仅当a＝b时取等号) 方法二：作商法 当且仅当a＝b时等号成立 所以(当且仅当a＝b时取等号) 方法三：因为，，所以由性质8可知，也可以先平方再作差，然后比较大小．平方比较法通常应用于无理式的大小比较，且多与作差法或作商法联用．【思路总结】一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． 【思路总结】 一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． 作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 二.介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 三．比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要