五年级的奥数讲义第讲盈亏问题与比较法一.doc

定义： 把若干物体均匀分给必定数目的对象，其实不是每次都能正好分完。假如物体还有节余，就叫盈；假如物体不够分，少了，叫亏。也就是说：已知两个分派方案，一次分派有余，一次分派不足，求参加分派的人数及被分派的总量。这样的问题往常叫做盈亏问题。 典型的盈亏问题一般以以下的形式表述： 把若干个苹果(未知数)分给若干个人(未知数)，假如每人分2个还多20个，假如每人分 3个则少5个。问总合有多少人？有多少个苹果？ 题目中的不变量是人数和苹果数，比较两种不同的分派方法，可知苹果相差： 20+5=25(个)；相差25个苹果，亳无疑问是因为每人相差苹果3-2=1(  个)而 做成的， 事实上，只有独一一种状况才会导至上述情况，那就是有25人分苹果！ 求得人数后，从而能够依据题意，用两种方法求得苹果的数目： 2×25+20=70(个)或3×25－5=70(个)。 解盈亏问题的公式 【一盈一亏的解法】 (盈数+亏数)÷两次每人分派数的差=分派人数 【双盈的解法】 (大盈-小盈)÷两次每人分派数的差=分派人数 【双亏的解法】 (大亏-小亏)÷两次每人分派数的差=分派人数 学法指导 由解盈亏问题的公式能够看出，求解此类问题的重点是当心确立两次分派数目的差和盈 亏的总数，假如两次分派是一次是有余，另一次是不足时，则依上边的公式先求得人数(不是物数)，再求出物数；假如两次分派都是有余，则公式变为盈额差除以两次分派数之差；假如 两次分派都是不足时，则公式变为亏额差除以两次分派数之差，假如 有时，一定转变题目中条件，才能从复杂的数目关系中找寻解答；有时，直接从“包括”下手比较困难，能够间接从其反面“不包括”去想就会比较简单。 例1小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？ 剖析：由题目条件能够知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分派方案， 第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一 少相差9＋6＝15（粒）。相差的原由在于两种方案的分派数不同，第一种方案每人分 4粒， 第二种方案每人分5粒，两次分派数之差为5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为 4×15＋9＝69（粒）。 解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人）， 4×15＋9＝69（粒）。 答：有15个小朋友，分69粒糖。 例2小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？ 剖析：此题与例1基真相同，例1中两次分派数之差是5-4=1（粒），此题中两次分派数之差是5-3＝2（粒）。例1中，两种分派方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），此题中，两种分派方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。模仿例1的解法即可。 解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人）， 3×4＋2＝14（粒）。 答：有4个小朋友，14粒糖果。 由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把必定数目的东西分给必定数目的人，由两种分派方案产生不同的盈亏数，反过来求出分派的总人数与被分派东西的总数目。解题的重点在于确立两次分派数之差与盈亏总数（盈数+亏数），由此获得求解盈亏问题的公式： 分派总人数=盈亏总数÷两次分派数之差。 需要注意的是，两种分派方案的结果不必定老是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等状况。 例3小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？ 剖析与解：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×3＝48（粒），所以盈亏总数是0＋48=48（粒），而两次分派数之差是16——10＝6（粒）。由盈亏问题的公式得 有小朋友（0＋16×3）÷（16——10）＝8（人），有糖10×8＝80（粒）。 下边的几道例题是购物中的盈亏问题。 例4一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东西的价钱是多少？ 剖析与解：两种购物方案的盈亏总数是8＋4＝12（元），两次分派数之差是10——7＝3（元）。 由公式获得 小朋友的人数（8＋4）÷（10——7）＝4（人），东西的价钱是10×4——8＝32（元）。 例5顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元。这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？ 剖析与解：买5本多3元，买7本少1.8元。盈亏总数为3＋1.8=4.8（元），这4.8元恰巧能够买7－5＝2（本）书，所以每本书4.8÷2=2.4（元），顾老师共带钱 2.4×5＋3＝15（元）。 例6王老师去买少儿小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差 元。问：少儿小提琴多少钱一