复活节金蛋表面积计算实习报告.doc

- . z. **应用技术学院 课题名称： 曲面积分求解金蛋问题 系 〔院〕： 专 业： 班 级： 学生**： 学 号： 指导教师： 开课时间： 目录 TOC \o "1-3" \h \z \u 一、问题提出3 1.1 问题产生背景3 1.2 问题描述3 二、问题分析3 三、数学模型及公式推导 3 四、数值积分方法……………………………………5 五、问题求解 6 六、结果比拟与分析…………………………………7 七、参考文献7 附录8 一、问题提出 1.1 问题产生背景 在俄国沙皇的宫廷宝藏中,有许多复活节蛋,它们大都以金银制作,装饰着或者内藏各种钻石. 而一只外表光滑的金蛋，仅凭外观我们很难判定其是否由纯金制作。 1.2 问题描述 在俄国沙皇的宫廷宝藏中,有许多复活节蛋,它们大都以金银制作,装饰着或者内藏各种钻石.其中有一只较大的金蛋,蛋壳的外层外表是一个椭球面,其半长轴,半短轴和半立轴分别为8cm,5.2cm,5cm.蛋壳的厚度为0.24cm, 重量是1680g.试问:这只复活节蛋的壳是否用纯金制作的" (金的密度为19.2g/) 〔1〕写出复活节蛋外表积的积分表达式。 〔2〕利用数值积分方法〔simpson法〕通过自己编程计算复活节蛋外表积和实际所需的黄金量。 〔3〕利用MATLAB中自带的积分命令直接计算并和〔2〕的结果进展比拟。 二、问题分析 问题中要求运用数值积分法和MATLAB里面自带的积分命令分别进展计算，并将结果进展比拟： 〔1〕运用数值积分法解决问题主要是通过大学数学知识写出椭圆外表积公式，然后计算实际所需的黄金量。 〔2〕运用MATLAB里面自带的积分命令对上述积分求解，然后再求出外表积和实际所需的黄金量〔对于二重积分,可以在将区域划分为小块后，通过在每个区域上对被积函数作近似简化求积，然后将所得的值进展求和得到.〕。 三、数学模型及公式推导 取球面中心为坐标原点，半椭圆的上侧为z轴的正方向建立直角坐标系,又三轴椭球面方程可表示为: 〔3-1〕 则为了计算的方便，计算过程采用如下的球坐标参数方程： 〔3-2〕 三轴椭球面的面积S是关于其3个半轴对称的，故可以先计算第一卦限的外表积，然后累加即可得到椭球体的面积,曲面面积的积分公式： 〔3-3〕 其中： 〔3-4〕 〔3-5〕 〔3-6〕 通过式(4)～(6)分别计算后得到： 〔3-7〕 〔3-8〕 〔3-9〕 则有： 〔3-10〕 将式(10)代入式(3)得到带根号的积分式： 〔3-11〕 这是一个难以计算的带根号的积分形式 四、数值积分方法 考虑矩形区域上的二重积分 〔4-1〕 将划分作个相等的小矩形{},其和 分别是和方向的分点,则： 〔4-2〕 假设对这两个单积分都用梯形法,就有： 〔4-3〕 而 (4-4) 这样便可求得在上的积分的近似值 (4-5) 则对 (4-6) 的两次积分都用Simpson法,就得到 (4-7) 设则： 〔4-8〕 接下来就可以用数值积分的方法把二重积分的积分区域分割为个小矩形,利用近似格式进展运算。 五、问题求解 通过Simpson法〔见附录1〕的问题计算： 当m取不同值时，得出不同的sum值.所以有如以下表: sum S(sum*2ab) 质量 m=2 5.505 472.3777 2176.716 m=4 5.127 456.7962 2104.917 m=8 5.128 456.0929 2101.676 m=16 5.365 456.0855 2101.642 m=32 5.876 456.0855 2101.642 m=…… …… …… …… m=128 5.203 456.0855 2101.642 表5-1 由表可知当时，m取值越大，函数值越趋近于5.4818 则 可近似得出体积V=外表积S*厚度d =5.4818*83.2*0.24 =109.4605824 进而得出近似质量： M=V*=2101题目所述的复活节金蛋质量为1680g不符，由此可知，该复活节金蛋并非纯金。 六、结果比拟与分析 通过Simpson法〔见附录1〕计算得到的〔表5-1〕可知：当时，m取值越大，函数值越趋近于5.4818；而利用matlab中自带的积分命令计算得到的函数值为5.4818〔见附录2〕。由此可知，Simpson法与利用matlab中自带的积分命令计算所得到的结果及其近似。因此，我们可以确定无论是通过Si