第三节 条件概率.ppt

第三节 条件概率 第1页，共25页。 一、 条件概率 例1. 某班有50名学生，其中男生30名，女生20 名。已过英语四级的有40人，其中男生25人， 女生15人。现任抽取1名学生，求： (1)已过英语四级的概率是多少？ (2)已知抽到的是男生，问已过英语四级的 概率是多少？ 分析： A表示“抽到的是男生”，B表示“已过英语四级”，则 P(A)=30/50, P(AB)=25/50, 第2页，共25页。 一般地，设样本空间?有n个样本点，事件A含有 m个样本点(m0), AB含有r个样本点 (r≤m), 则有 同理， 称 为事件 B 发生的条件下事件 A 的条件概率. 定义 1.4 第3页，共25页。 求条件概率的方法有两种： 次取到白球的概率。 例2. (1)在缩减样本空间A中求事件B的概率，就得到P(B|A)； (2)在样本空间?中,先求出P(AB),P(A),再由定义求P(B|A)。 袋中有5个球，其中3个红球2个白球，现从袋中 不放回地连取两个球。已知第一次取到红球时，求第二 解： A表示第一次取到红球， B表示第二次取到白球，则 第4页，共25页。 条件概率具有以下性质： (2) 规范性 第5页，共25页。 二、 乘法公式 如果 P(A)0, 则P(AB)=P(A)P(B|A)； 如果 P(B)0, 则P(AB)=P(B)P(A|B)。 推广： P(A1A2···An)=P(A1)P(A2|A1) P(A3|A2A1) ···P(An| A1A2···An-1) 特别地， P(ABC)=P(A)P(B|A) P(C|AB). 第6页，共25页。 例4. 依次请甲、乙、丙三个同学回答一个问题， 如果前面的同学回答对了就停止，回答错误则 由后面的同学回答。已知他们依次答对的概率 分别是0.4、0.6、0.8。分别求出问题由甲、乙、 丙答出的概率。 解： 设A、B、C分别表示问题由甲、乙、丙答出， 则 第7页，共25页。 例3. 有甲、乙两个同型号的箱子，甲箱中装有3个红 球2个白球，乙箱中装有4个红球3个白球。现在 任意取一箱，再从该箱中任意取出一球，求： (1)恰好取到甲箱的白球的概率； (2)取到白球的概率。 解： A表示取到甲箱， B表示取到白球， 则 第8页，共25页。 三、全概率公式与贝叶斯公式 定理1.1 在随机试验E中, 设A1,A2,···,An构成一个 完备事件组,且P(Ai)0,i=1,2,3,···,n.B为任意事件, 则 全概率公式 P(B)=P(A1B+ A2B+ ···+AnB) =P(A1B)+P(A2B) + ···+P(AnB) =P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) +···+ P(An)P(B|An). 说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 第9页，共25页。 例6. 解： B表示抽到的是次品，A1,A2,A3分别表示抽到 甲、乙、丙厂的产品， 则 一批产品由甲、乙、丙三个工厂生产，产量依次为 45%、35%、20%，各厂的次品率依次为2%、3%、5%。 现从该批产品中任抽一件，求： (1)抽到次品的概率; (2)若已抽到次品，问它是来自甲厂的概率。 第10页，共25页。 定理1.2 在随机试验E中, 设A1,A2,···,An 构成一个完备事件组,且P(Ai)0,i=1,2,3,···,n. B为任意事件, P(B)0,则 贝叶斯公式 第11页，共25页。 例7. 根据以往统计可知，每天早上机器开动时，机器处于 良好状态的概率为75%。当机器处于良好状态时，产品 的合格率为90%,当机器有故障时,产品的合格率为30%。 某日，从当天生产的产品中任取一件,求： (1)该产品是合格品的概率； (2)若已知抽到的是合格品,求该天机器处于良好状态的 概率。 若抽到的是一件不合格品，求该天机器处于良好状态的概率。 解： B表示抽到合格品，A表示机器处于良好状态, 则 问题： 第12页，共25页。 上题中概率 0.75 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.9 叫做后验概率. 先验概率与后验概率 利用后验概率作出的决策称为贝叶斯决策。 第13页，共25页。 例 (补) 解： A表示得肺癌，B表示吸烟者， 则 若人群中肺癌的发病率为0.1%,得肺癌的人中吸烟者占90%, 没得肺癌的人中不吸烟者占80%,求吸烟者患肺癌的概率。 第14页，共25页。 例(补)(练习). 老师在出考试题时,平时练习过的题目占60%，学生答卷 时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95%，平时 未练