考向38 二项式定理全归纳（十五大经典题型）（解析版）.docxVIP

考向38二项式定理全归纳 经典题型一：求二项展开式中的参数 经典题型二：求二项展开式中的常数项 经典题型三：求二项展开式中的有理项 经典题型四：求二项展开式中的特定项系数 经典题型五：求三项展开式中的指定项 经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 经典题型七：求二项式系数最值 经典题型八：求项的系数最值 经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 经典题型十：求奇数项或偶数项系数和 经典题型十一：整数和余数问题 经典题型十二：近似计算问题 经典题型十三：证明组合恒等式 经典题型十四：二项式定理与数列求和 经典题型十五：杨辉三角 （2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 （2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________． 【答案】???? ???? 【解析】含的项为：，故； 令，即， 令，即， ∴， 故答案为：；． 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次 数从到，每一项中，，次数和均为； ④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ①（） ② （4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； ③与的次数之和为． 注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的． ②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）． 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 = 1 \* GB3 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． = 2 \* GB3 ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． = 3 \* GB3 ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． = 4 \* GB3 ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． = 5 \* GB3 ⑤最大值： 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）. （1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项. （2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 2、解题技巧： （1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． （2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． （3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0