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考向37计数原理与排列组合小题最全归纳
经典题型一:两个计数原理的综合应用
经典题型二:直接法
经典题型三:间接法
经典题型四:捆绑法
经典题型五:插空法
经典题型六:定序问题(先选后排)
经典题型七:列举法
经典题型八:多面手问题
经典题型九:错位排列
经典题型十:涂色问题
经典题型十一:分组问题
经典题型十二:分配问题
经典题型十三:隔板法
经典题型十四:数字排列
经典题型十五:几何问题
经典题型十六:分解法模型与最短路径问题
经典题型十七:排队问题
经典题型十八:构造法模型和递推模型
经典题型十九:环排问题
(2022·全国·高考真题)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有(????)
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看做一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有:种不同的排列方式,
故选:B
(2021·全国·高考真题(理))将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(????)
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
【答案】C
【解析】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案,
故选:C.
点睛】本题考查排列组合的应用问题,属基础题,关键是首先确定人数的分配情况,然后利用先选后排思想求解.
知识点1、分类加法计数原理
完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的办法,在第2类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.
知识点2、分步乘法计数原理
完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.
注意:两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关,如果完成某件事情有类办法,这类办法之间是互斥的,那么求完成这件事情的方法总数时,就用分类加法计数原理.
分步乘法计数原理和“分步”有关,是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有个步骤,而且这几个步骤缺一不可,且互不影响(独立),当且仅当依次完成这个步骤后,这件事情才算完成,那么求完成这件事情的方法总数时,就用分步乘法计数原理.
当然,在解决实际问题时,并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理,有时可能同时用到两个计数原理.即分类时,每类的方法可能运用分步完成;而分步后,每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题,我们可以从不同的角度去处理,从而得到不同的解法(但方法数相同),这也是检验排列组合问题的很好方法.
知识点3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.
知识点4、排列与排列数
(1)定义:从个不同元素中取出个元素排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
(2)排列数的公式:.
特例:当时,;规定:.
(3)排列数的性质:
①;②;③.
(4)解排列应用题的基本思路:
通过审题,找出问题中的元素是什么,是否与顺序有关,有无特殊限制条件(特殊位置,特殊元素).
注意:排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的,但作用略有不同,常用于具体数字计算;而在进行含字母算式化简或证明时,多用.
知识点5、组合与组合数
(1)定义:从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.
(2)组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数,可以按以下两步来考虑:
第一步,先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数;
第二步,求每一个组合中个元素的全排列数;
根据分步计数原理,得到;
因此.
这里,,且,这个公式叫做组合数公式.因为,所以组合数公式还可表示为:.特例:.
注意:组合
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